Théorème AKS

C'est une conséquence du fait que les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ sont des multiples de $n$ (si $1\le k\le n-1$) et du petit théorème de Fermat. Il n'y a qu'à écrire \[(X+a)^n-X^n-a=\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}ka^{n-k}X^k+a^n-a\] et constater que le membre de droite est dans l'idéal engendré par $n$.

(L'hypothèse sur $a$ n'a pas lieu d'être et $r$ ne joue aucun rôle, d'ailleurs $r=0$ serait autorisé.)