Éléments d'ordre $d$

mcd
mcd
dans Arithmétique
Bonjour

Soit $d \mid n$, je regarde les solutions de l'équation en $k$
$$
k \wedge n = {n \over d}.

$$ Je pense qu'il y en a $\varphi(d)$ ou $\varphi({n \over d})$, je ne sais pas trop. Peut-on le montrer ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il y a une infinité de tels entiers, j'imagine que tu te restreins à ceux qui sont entre $0$ et $n-1$. Les entiers $k$ recherchés sont de la forme $l\frac{n}{d}$ avec $l$ premier avec $d$, je te laisse compter.
  • mcd
    mcd
    Comment savez vous que les solutions sont de cette forme ?
  • Poirot
    Poirot
    J'ai corrigé mon dernier message.
  • mcd
    mcd
    Mais quel est le raisonnement pour aboutir à votre affirmation ?
  • Poirot
    Poirot
    Soit $p$ le PGCD de $k$ et $n$. Alors il existe $a$ et $b$ premiers entre eux tels que $k=ap$ et $n=bp$.

    Tu peux procéder par double inclusion à partir de là.

    PS : j'ai encore modifié ma réponse. (:P)
  • mcd
    mcd
    Ok alors soit $k = ap$ et $n = bp$ alors $p = {bp\over d}$ donc $b = d$. Ainsi
    On a que $k$ est solution de $k \wedge n = {n \over d}$ ssi $k = ap$ avec $a \wedge d = 1$ et $p = {n \over d}$

    On en déduit qu'il existe $\varphi(d)$ solution.

    EDIT : J'ai oublié LATEX
  • Poirot
    Poirot
    Rien compris à ton "donc $p = \frac{bp}{d}$". Tu n'as pas non plus justifié proprement qu'il existe $\varphi(d)$ solutions (à nouveau, j'imagine que tu les cherches entre $0$ et $n-1$).
  • mcd
    mcd
    Ben $p = k\wedge n$ donc l'équation s'écrit $ p = {n \over d } = {np \over d}$

    EDIT : non pas $np$ mais $pb$
  • mcd
    mcd
    J'ai dit que $k$ est solution de $k \wedge n = {n \over d}$ ssi $k = ap$ avec $a \wedge d = 1$ et $p = {n \over d}$

    Ainsi l'ensemble des solutions plus petite que $n$ $\{ ap ; a \wedge d = 1\}$ il suffit de compter les entiers premier avec $d$. Et on ne peut pas aller plus haut que $d$ car $pd = n$.

    On en déduit qu'il existe $\varphi(d)$ solution.

    EDIT : J'ai oublié LATEX

    EDIT : J'ai oublié d'enlever le EDIT de mon copier coller.
  • Poirot
    Poirot
    Tu as montré que si $p = \frac{n}{d}$ alors $k=a \frac{n}{d}$ avec $a$ premier avec $d$, pas la réciproque.

    Si tu prépares l'agreg il faudrait rédiger mieux que ça ton comptage.
  • mcd
    mcd
    Je pense que c'est déjà trop tard mais merci :).

    Si $k = ap$ avec $a \wedge d = 1$ et $p = {n \over d}$ alors $k \wedge n = ap \wedge p d = p a \wedge d = p = {n \over d }$.
  • mcd
    mcd
    @Poirot : J'ai été reçu à l'agreg externe top 150, j'aurais pu faire mieux si j'avais mieux rédigé mais c'était trop tard comme je vous ai dit.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 16

DomLOU16SMIbiguine_equationpozzar +11 Invités