Moyenne arithmétique

Indication : Conjecture de Goldbach.

Tu ne verras pas ça dans quelques années. Ce n'est pas le genre de trucs qu'on apprend à l'école.
Le dénommé Goldbach a fait la même expérience que toi, il a constaté par une succession de tests que tout nombre pair pouvait s'écrire comme somme de 2 nombres premiers. Par l'expérience, ça semble vrai, sur tous les nombres testés, on trouve au moins un couple de nombre premiers.
Et globalement, plus on prend un nombre n grand plus le nombre de solutions augmente ( globalement ... il y a des hauts et des bas, expliquables, par exemple les puissances de 2 ont globalement moins de solutions que les autres nombres ...)
Donc on est à peu près certain que pour tous les entiers pairs, il y a au moins une décomposition.
Mais personne n'a jamais su le démontrer.

Bonsoir.

Les méthodes 'classiques' pour traiter les questions sur les nombres premiers sont assez vite épuisées et il faut des trésors d'ingéniosité pour avoir des résultats supplémentaires.

Pour la conjecture de Goldbach, puisque c'est d'elle qu'il est principalement question, tu remarqueras que toutes les approches qui sont données dans un certain sous-forum (elles sont faciles à retrouver) sont peu concluantes.

Si je peux me permettre, je te conseillerais de commencer par t'approprier le théorème de Tchebychev : pour tout naturel n supérieur à 1, il existe un nombre premier p tel que n < p < 2n.

Il est question de nombres premiers et de nombres pairs, cela me semble un bon début.

Déjà ce résultat n'est pas forcément évident, bien qu'en pratique il soit perfectible (et même grandement).

À bientôt.

Dreamer: $p_1=2$.
Quand on va développer le produit $\left(x^2+x^3+x^5+\cdots+x^{p_n}+\ldots\right)\times \left(x^2+x^3+x^5+\cdots+x^{p_n}+\ldots\right),$ le terme de plus petit degré est $x^4$ et tous les termes de la somme sont des puissances paires de $x$.

Fin de partie, merci pour ces corrections et encore une fois merci pour ce beau résultat que je vais analyser.

Certains esprits chagrins pourraient avoir encore une toute petite remarque de principe sur tes corrections mais pour ma part elles me conviennent et je ne tomberais pas dans ce travers.

Cordialement.

Raoul.S:

Ce message est désastreux.:-D

mais le résultat corrigé n'a plus le défaut reproché.:-)

Bonsoir.

Je viens juste ici ajouter un élément évident sur $S(x)^2$ tel que précisé plus haut : la valeur des fameux coefficients des puissances paires sont des entiers qui représentent le nombre de décompositions de chaque nombre pair en question comme somme de deux nombres premiers.

Un contre-exemple à la conjecture de Goldbach serait donc donné par un terme de puissance paire de cette série entière qui serait nul.

En faisant une petite recherche sur OEIS [une vilaine habitude], je me suis rendu compte que la suite des coefficients était renseignée dans deux suites considérées comme distinctes de cette encyclopédie : A002372 (qui semble faire partie des toutes premières suites étudiées, bien que le lien à une série entière ne soit pas donné dans ces propriétés) et A035026 (qui elle fait bien mention d'une convolution propre à partir de la fonction caractéristique des nombres premiers [A010051, pour ceux qui veulent la voir]).

Étant donné que les définitions sont similaires, il y a, selon moi, lieu de fusionner les deux suites, mais je ne sais pas si ce cas de figure est envisageable.

C'est tout pour le moment.

À bientôt.

[Édit : Je suis bête parfois. Pensez à la façon de construire $S(x)^2$ à partir de ses développements tronqués et pensez aussi au théorème de Tchebychev (il y a toujours un nombre premier entre un nombre naturel et son double).

$S(x)^2$ ne possède pas de terme de puissance paire dont le coefficient est nul.]

Merci pour cet éclairage sur les coefficients.

Je donne juste ici ce à quoi je pensais et puis je n'y reviens plus.

Pour info, je ne vais pas aller jusqu'à $2 \cdot 10^{19}$ termes, vu que c'est le record et qu'il n'y a pas de coefficient nul jusque là...

J'établis $S_n(x)$ comme la version tronquée (donc formellement un polynôme) de $S(x)$ dont le terme de degré impair maximal est divisible par $p_n$, le nième premier impair (donc $p_1=3$).

Cela donne $S_1(x)=x^3$, c'est vraiment tronqué.
On obtient facilement $S_1(x)^2=x^6$, ce n'est pas un scoop.
Cette série tronquée est complète jusqu'à son terme de degré pair maximal, il n'y a qu'un terme, c'est facile.

Par le théorème de Tchebychev, on sait qu'il existe au moins un (et pour les deux premières itérations du processus, c'est uniquement un, après il y en a plus) nombre premier entre 3 et 6, c'est 5.

Je construis donc $S_2(x)=x^3+x^5$, et je recommence le calcul.
$S_2(x)^2=x^6+2\cdot x^8+x^{10}$. Cette série tronquée est complète jusqu'à son terme de degré pair maximal, il y a trois termes, les coefficients de $x^6$ et $x^8$ sont dorénavant fixés pour la suite de la procédure.

Par le théorème de Tchebychev, on sait qu'il y a un nombre premier entre 5 et 10, c'est 7.

Je construis donc $S_3(x)=x^3+x^5+x^7$ et je recommence le calcul.
$S_3(x)^2=x^6+2\cdot x^8+3\cdot x^{10}+2\cdot x^{12} + x^{14}$, cette série tronquée est complète jusqu'à son terme de degré pair maximal, les termes jusqu'à $x^{12}$ sont dorénavant fixés pour la suite de la procédure.

Maintenant que la procédure est explicitée, je ne vous fais pas l'affront de la poursuivre.

Pour les $S_4, S_5, S_6, S_7$, les calculs montrent que le théorème de Tchebychev est vraiment un strict minimum, il y a souvent bien plus de nombres premiers qui s'ajoutent à chaque itération.
Et donc, comme je le disais en préambule, de toutes façons ces calculs sont inutiles car ils ont déjà été faits jusqu'à $2\cdot 10^{19}$, sans trouver de coefficient nul.
A ce stade, je ne sais pas faire les calculs en un temps raisonnable, mais que pensez-vous du nombre de termes qui s'ajoutent à ce niveau là suivant cette procédure ?

À bientôt.