Équation diophantienne
dans Arithmétique
Bonsoir à toutes et à tous,
J'espère que vous allez bien.
Sur un autre fil, gai requin m'a proposé cette équation. Je n'ai jamais traité d'équations diophantiennes et je n'ai réussi qu'à la mettre sous cette forme : $ 5x + 3y = 4xy$. N'ayant aucune méthode sous la main, je suis parti me renseigner sur Internet (lien) où les messages de Green m'ont grandement aidé. J'ai donc :
$5x + 3y = 4xy \qquad (1)$
$5x -4xy = -3y$
$x(5 - 4y) = -3y$
$x = \frac{-3y}{5-4y} = \frac{3y}{4y - 5}$
Il indique que les solutions sont de type : $(\frac{3y}{4y - 5} ; y)$.
J'ai donc testé quelques valeurs, en sachant que $x$ et $y$ sont tous les deux différents de $0$.
Pour $x=1$, j'ai $4y - 5 = 3y$ donc le couple $(1;5)$.
Pour $x=2$, j'ai $8y - 10 = 3y$ et donc le couple $(2;2)$.
Pour $x=3$, j'ai l'équation $12y - 15 = 3y$; et ce qui signifie que $y = \frac{15}{9}$, or $y \in \mathbb{N}$.
Je me suis rendu compte que je devais dans tous les cas résoudre cette équation et en retirer les couples "nuls" ou "demi-nuls" :
$4yx - 5x - 3y = 0$ mais le problème est que je n'ai aucune idée de comment m'y prendre et que je suis revenu à la case départ, car je ne vois pas d'autre moyen que de tester tous les $x$ sur $\mathbb{Z}$ pour trouver tous les couples qui fonctionnent ce qui est bien embêtant... Le pire, c'est que même en remplaçant dans l'expression $(1)$ tous les $x$ par des $y$, on se retrouve avec une égalité de type $0=0$ :-S
Si quelqu'un peut m'aider, je serai très reconnaissant.
Merci d'avance,
Mohammed R.
J'espère que vous allez bien.
Sur un autre fil, gai requin m'a proposé cette équation. Je n'ai jamais traité d'équations diophantiennes et je n'ai réussi qu'à la mettre sous cette forme : $ 5x + 3y = 4xy$. N'ayant aucune méthode sous la main, je suis parti me renseigner sur Internet (lien) où les messages de Green m'ont grandement aidé. J'ai donc :
$5x + 3y = 4xy \qquad (1)$
$5x -4xy = -3y$
$x(5 - 4y) = -3y$
$x = \frac{-3y}{5-4y} = \frac{3y}{4y - 5}$
Il indique que les solutions sont de type : $(\frac{3y}{4y - 5} ; y)$.
J'ai donc testé quelques valeurs, en sachant que $x$ et $y$ sont tous les deux différents de $0$.
Pour $x=1$, j'ai $4y - 5 = 3y$ donc le couple $(1;5)$.
Pour $x=2$, j'ai $8y - 10 = 3y$ et donc le couple $(2;2)$.
Pour $x=3$, j'ai l'équation $12y - 15 = 3y$; et ce qui signifie que $y = \frac{15}{9}$, or $y \in \mathbb{N}$.
Je me suis rendu compte que je devais dans tous les cas résoudre cette équation et en retirer les couples "nuls" ou "demi-nuls" :
$4yx - 5x - 3y = 0$ mais le problème est que je n'ai aucune idée de comment m'y prendre et que je suis revenu à la case départ, car je ne vois pas d'autre moyen que de tester tous les $x$ sur $\mathbb{Z}$ pour trouver tous les couples qui fonctionnent ce qui est bien embêtant... Le pire, c'est que même en remplaçant dans l'expression $(1)$ tous les $x$ par des $y$, on se retrouve avec une égalité de type $0=0$ :-S
Si quelqu'un peut m'aider, je serai très reconnaissant.
Merci d'avance,
Mohammed R.
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Réponses
Si tu regardes bien tu verras qu'il n'y a pas besoin de tester tous les entiers pour $y$, pourquoi ?
Écris cette dernière égalité sous la forme $(x-a)(y-b)=c$, puis regarde ce que tu peux en faire.
Pour que $\dfrac{3y}{4y - 5}$ soit entier, il faut d'abord que $\dfrac{3y}{4y - 5}\geq 1$, ce qui te donne une inéquation simple à résoudre, et donc assez peu de valeurs de $y$ à tester ensuite.
Cordialement,
Rescassol
On factorise 15 en regardant les restes modulo 4 des facteurs : on obtient alors trois solutions dans $\N$ et quatre dans $\Z$.
De toute façon, je ne sais pas trop utiliser les modulos et les congruences, donc le fait que ça revient à écrire $(4x-3)(4y - 5)$ ne m'aide pas trop car je n'arrive pas à comprendre l'esprit de la méthode derrière vos indications. Je vous remercie cependant (tu)
raoul.S , Rescassol :
Il faut donc que $4y-5$ divise $3y$, c'est bien ça ? Donc que $3y > 4y-5$ (supérieur ou égal) ce qui revient bien à l'inéquation de Rescassol dans le cas où $y \in \mathbb{N}$ non ? Mais comment peut-on être sûr que $y \notin \mathbb{Z}_-^*$ ? Bon, du coup $y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ?
Testons $y=1$. Nous avons $4x - 3 = 5x$ soit $x = -3$.
Testons $y=2$. Nous avons $8x - 6 = 5x$ soit $x = 2$.
Testons $y=3$. Nous avons $12x - 9 = 5x$ soit $x=\frac{9}{7}$.
Testons $y=4$. Nous avons $16x - 12 = 5x$ soit $x= \frac{12}{11}$.
Testons $y=5$. Nous avons $20x - 15 = 5x$ soit $x=1$.
Nous avons donc comme solutions de l'équation $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 4, \; (x,y) \in \mathbb{Z}^2$ les couples :
$(-3,1), \; (1,5), \; (2,2)$.
J'aimerais savoir pourquoi $y > 0$.
Merci d'avance,
Mohammed R.
En écrivant $(4x-3)(4y-5)=15$, les valeurs que peuvent prendre les deux facteurs de gauche sont limitées. C'est de la simple divisibilité.
Car si $y$ est négatif alors $4y-5$ est plus grand que $3y$ en valeur absolue, donc il ne peut pas le diviser. Tu peux le montrer toujours avec une inéquation (tu peux également le voir graphiquement en traçant les graphes des fonctions $y\mapsto 3y$ et $y\mapsto 4y-5$ https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+3y,+4y-5).
Mohammed R la méthode ci-dessus n'est pas très élégante mais elle permet d'arriver au résultat sans trop réfléchir.
La méthode exposée par jandri et nahar, donc le fait de se ramener à $(4x-3)(4y-5)=15$, est plus élégante. à condition de connaître l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
L'inéquation que j'ai donnée $\dfrac{3y}{4y - 5}\geq 1$ ne suppose pas que $y>0$.
Par contre, elle n'est pas forcément équivalente à $3y \geq 4y-5$.
Cordialement,
Rescassol
Tu as montré que nécessairement $4y-5$ divise $3y$ et on peut conclure sans astuces en utilisant le fait qu'alors $4y-5$ divise toute combinaison linéaire de $3y$ et $4y-5$ (c'est une technique de base).
En particulier, $4y-5$ divise $4\times 3y-3(4y-5)=15$, ce qui entraîne que $y\in\{1,2,5\}$...
Mohammed R.