Finitude
dans Arithmétique
Bonjour à tous je souhaiterais montrer ce résultat.
Existe-t-il une infinité de couples d'entiers $(n,m)$ distincts tels que $n!+1\mid m!+1$ ?
Je sais prouver ce résultat suivant.
Soit $k\geq 2$ un entier naturel fixé, il n'existe alors qu'un nombre fini de couples $(n,m)$ tels que $n!+1\mid m!+1$, avec $ m\leq kn$
Quelqu'un a-t-il une idée de la preuve ?
Soit $q_{m,n}$ et $r_{m,n}$ le reste de la division de $m$ par $n$
on a $ m!=n!^{q_{m,n}}\left[\prod_{k=0}^{q_{m,n}-1}C_{m-kn}^{n}\right]r_{m,n}!$
$ n!+1\mid m!+1 \Longrightarrow n!+1\mid \left[ \prod_{k=0}^{q_{m,n}-1}C_{m-kn}^{n}\right]r_{m,n}!+(-1)^{q_{m,n}}$
Puis on définit $ f_{n}(m)=\frac{\left[ \prod_{k=0}^{q_{m,n}-1}C_{m-kn}^{n}\right]r_{m,n}!+(-1)^{q_{m,n}}}{n!+1}$
On montre que $ f_{n}(m+1)\geq (r_{m,n}+1)(f_{n}(m)-\frac{(-1)^{q_{m,n}}}{n!+1})+\frac{(-1)^{q_{m,n}}}{n!+1}\geq f_{n}(m)$
Donc $ f_{n}(m)\leq f_{n}(kn)$
On montre facilement que $\lim_{n\to +\infty}f_{n}(kn)=0$ ce qui me permet de conclure
Dans le cas $ m\leq k[n^{\epsilon}]$ avec $1<\epsilon<2$ je ne sais pas comment les choses marchent
Existe-t-il une infinité de couples d'entiers $(n,m)$ distincts tels que $n!+1\mid m!+1$ ?
Je sais prouver ce résultat suivant.
Soit $k\geq 2$ un entier naturel fixé, il n'existe alors qu'un nombre fini de couples $(n,m)$ tels que $n!+1\mid m!+1$, avec $ m\leq kn$
Quelqu'un a-t-il une idée de la preuve ?
Soit $q_{m,n}$ et $r_{m,n}$ le reste de la division de $m$ par $n$
on a $ m!=n!^{q_{m,n}}\left[\prod_{k=0}^{q_{m,n}-1}C_{m-kn}^{n}\right]r_{m,n}!$
$ n!+1\mid m!+1 \Longrightarrow n!+1\mid \left[ \prod_{k=0}^{q_{m,n}-1}C_{m-kn}^{n}\right]r_{m,n}!+(-1)^{q_{m,n}}$
Puis on définit $ f_{n}(m)=\frac{\left[ \prod_{k=0}^{q_{m,n}-1}C_{m-kn}^{n}\right]r_{m,n}!+(-1)^{q_{m,n}}}{n!+1}$
On montre que $ f_{n}(m+1)\geq (r_{m,n}+1)(f_{n}(m)-\frac{(-1)^{q_{m,n}}}{n!+1})+\frac{(-1)^{q_{m,n}}}{n!+1}\geq f_{n}(m)$
Donc $ f_{n}(m)\leq f_{n}(kn)$
On montre facilement que $\lim_{n\to +\infty}f_{n}(kn)=0$ ce qui me permet de conclure
Dans le cas $ m\leq k[n^{\epsilon}]$ avec $1<\epsilon<2$ je ne sais pas comment les choses marchent
Réponses
-
Un nombre fini (avec l'hypothèse que les entiers sont distincts), qui vaudrait deux ?
Avec le plus grand égal à mille, je ne trouve que $(0,1)$ pour $2\mid2$ et $(3,6)$ pour $7\mid 721$.sage: [(m,n) for n in range(1001) for m in range(n) if (factorial(n)+1)%(factorial(m)+1)==0] [(0, 1), (3, 6)]
-
Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme $n! + 1$ ?
Si oui, alors le théorème de Wilson fournit une solution à ce problème.
Edit : $11!+1$ est apparemment premier donc $n=11, m=11!$ est également solution. On peut éventuellement espérer trouver une infinité de solutions de cette forme. -
Oui oui Si $ n!+1$ est premier alors $(n!)!+1= (n!+1-1)!+1\equiv 0[ n!+1]$
-
Voici les $n\le400$ pour lesquels $n!+1$ est premier, cf. http://oeis.org/A002981.
[0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399]
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