Une simple question

jelobreuil · July 2021

Bonjour à tous,
Une question sur les nombres premiers.

Peut-on écrire chaque nombre premier (à partir de 7) sous la forme de la somme d'un deuxième et du double d'un troisième ? Je pense que oui, et que cela est sûrement démontré depuis longtemps ...
Exemples : 7 = 2x2 + 3 ; 11 = 2x2 + 7 ; 13 = 2x5 + 3 = 2x3 + 7
Quels sont les nombres premiers qui n'admettent qu'une seule écriture de ce type ? Sans doute y en a-t-il une infinité ?
De ma part, ce n'est que de la pure curiosité !
Merci de vos réponses.
JLB

Math Coss · July 2021

Dans cet esprit, cf. la version faible de la conjecture de Goldbach.

lourrran · July 2021

Sur la question : quels entiers premiers P admettent une écriture unique sous la forme $P= 2P_1 + P_2$ , avec $P_1$ et $P_2$ premiers ?
A mon avis très peu.
Pour moi, je pense qu'il y a quelques rares nombres qui ont une écriture unique sous cette forme. Et pour des valeurs de P relativement grandes, on a "plein" de décompositions.

J'imagine que tu as calculé les premiers termes. Tu as trouvé des cas, qui ont une décomposition unique ?

Tu attaques un thème ou tout le monde a des quasi-certitudes, mais peu de résultats ont eu une démonstration formelle.

Dreamer · July 2021

Bonjour.

Comme résultat apparenté, il y a ceci, mais cela concerne des nombres pairs, pas des nombres premiers.

À bientôt.

jelobreuil · July 2021

Merci, Math Coss, lourrran et Dreamer, de vos indications judicieuses !
Math Coss, en effet, cette question peut être vue comme un cas particulier de la conjecture faible de Goldbach ...
Dreamer, c'est vrai que ce résultat s'apparente à mes observations ...
lourrran, oui, j'ai écrit certaines décompositions pour les premiers jusqu'à 150. Pour le moment, je n'ai fait que vérifier l'existence d'au moins une décomposition de ce genre, et je pense comme toi que s'il y a des nombres premiers qui n'en ont qu'une seule, ils ont forcément plus de chances de se trouver parmi les termes inférieurs de la suite.
Pour le moment, comme cette idée m'est venue la nuit dernière, j'en suis au stade des balbutiements. En outre, mon niveau en arithmétique étant très bas, voire carrément nul à part le B.A.BA, je n'ai absolument aucune ambition démesurée ... Ce n'est certes pas parce que cette question que je soulève a un lien avec cette conjecture de Goldbach que je vais me monter le ciboulot au point de m'écrier "Et maintenant, à nous deux, Goldbach ! On va voir ce qu'on va voir !" comme certains abonnés du shtam qui te font sans doute doucement rigoler ...
Mais cette question présente-t-elle vraiment un intérêt plus qu'anecdotique ? Je crains bien que votre réponse soit négative, mais cela ne me découragera pas de poursuivre mes petits calculs : je vais essayer, en guise de passe-temps, de trouver les décompositions, selon ce schéma, des nombres premiers inférieurs à 500, pour commencer ... Et bien entendu, je vous tiendrai au courant !
A votre avis, fais-je bien de ne pas prendre en considération, dans ce cadre, des décompositions du style P = 2p + 1 ? Puisque 1 n'est pas premier ...
Bien cordialement
JLB

Dreamer · July 2021

Oui.

Un est à part, c'est une sorte de joker qu'il ne faut pas utiliser.

À bientôt.

jelobreuil · July 2021

Merci, Dreamer, de la confirmation
JLB

lourrran · July 2021

J'ai testé tous les premiers $P$ jusqu'à 400000 et un peu au delà.
Plus $P$ est grand, plus le nombre de combinaisons augmente.
Pour $P$ de l'ordre de 100000, on a en moyenne 640 combinaisons,
Et ça continue de monter... pour $P$ de l'ordre de 400000, on monte à 2000 (minimum 1905 , maximum 2079 sur un échantillon de 1000 nombres premiers)

Le seul nombre pour lequel il y a une unique décomposition est 7.
Et bien sûr, dans ces traitements, j'exclue le nombre 1, ce n'est pas un nombre premier.

Dreamer · July 2021

Bonsoir.

Si en plus la proportion ne varie pas plus de 10% autour de la moyenne, cela semble clair que le nombre de premiers ayant une seule décomposition est en fait fini.

Ce serait une suite facile à rajouter sur oeis.

À bientôt.

LEG · July 2021

Bonjour

@Dreamer

si on tient compte du fait que l'écart entre deux nombres premiers consécutifs tend à augmenter, cela rend quasiment impossible à démontrer...

Puis faire un programme en C++ pour une limite de 500 000 000 000 par exemple; afin de calculer la moyenne du nombre de décompositions d'un nombre premier, ou de l'écart entre le maximum de décompositions et le minimum, risque de ne pas apporter plus d'informations justement
à cause de l'écart grandissant entre deux premiers consécutifs.

On peut d'ailleurs avoir des variations de plus de 10% par rapport à une "moyenne" ou entre l'écart maximum et minimum des décompositions des nombres premiers.
On rencontre ce phénomène dans la conjecture de Goldbach .... Sans pour autant qu'il y ait un écart qui soit égal à 0.,
La variation entre le nombre de décompositions maximum et minimum se situe dans une fourchette "" que l'on peut calculer...""

jelobreuil · July 2021

Merci, lourrran, Dreamer, de votre intérêt pour cette question banale !
lourrran, en effet, il n'y a que 7 qui ait une seule et unique décomposition en 2p₁ + p₂ ...
Peut-être, pour que cette décomposition soit un tant soit peu intéressante, faut-il écrémer la chose en imposant une limite inférieure à p₁ et/ou une limite supérieure à p₂ ? et ceci, en fonction de l'ordre de grandeur de P ?
Par exemple, jusqu'à 100, si on ne prend pas en compte les 2.2, 2.3 et 2.5, cela réduit assez fortement le nombre de décompositions possibles, me semble-t-il ...
Je poursuis mes petits calculs, c'est très bon pour entretenir mes petites cellules, grises ou blanches !
Bien cordialement
JLB

lourrran · July 2021

En cherchant les premiers termes : 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 3, 5, 4, cette suite ne semble pas être sur OEIS.

Edit : suite à la réponse de R.E., j'ai voulu comprendre pourquoi je ne trouvais pas. En fait, il faut mettre des guillemets !
En cherchant OEIS 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 3, 5, Google considère qu'on cherche 0 , 0, 0 , 1 ... mais pas forcément dans cet ordre.
En cherchant OEIS "0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 3, 5" , alors 0,0,0,1,.. doivent apparaître dans cet ordre ! ça change tout.

Dreamer · July 2021

En voici donc une deuxième à rajouter.

Et une conjecture facile : le nombre de décompositions parcourt l'ensemble des naturels, la seule occurrence unique étant 1.

À bientôt.

R.E. · July 2021

A103274 : Number of ways of writing prime(n) in the form 2*prime(i)+prime(j).
0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 4, 7, 6, 6, 5, 6, 6, 8, 6, 6, 8, 5, 8, 6, 6, 9, 5, 9, 7, 6, 6, 7, 10, 7, 8, 8, 6, 9, 12, 10, 7, 7, 11, 8, 10, 8, 11, 12, 9, 10, 12, 8, 10, 14
https://oeis.org/A103274

jelobreuil · July 2021

Merci R.E. de cette mise à jour de nos connaissances en la matière !
Serait-il intéressant d'essayer :
1) de voir que devient cette suite quand on ne prend plus en compte les décompositions en 2.2 + p, 2.3 + p et 2.5 + p ? Autrement dit, quand on ne tient plus compte des écarts de 4, 6 et 10 entre nombres premiers, (écarts les plus fréquents, tout au moins jusqu'à 1000) ?
2) de déterminer, pour un premier p donné, quels sont les premiers qui peuvent, ou ne peuvent pas, se décomposer, entre autres,
a) en 2.p + p' ?
b) en 2.p' + p ?
En effet, certaines "règles" sont aisément compréhensibles : par exemple, excepté 19, un nombre premier qui s'écrit (10.n + 9) ne peut pas se décomposer en 2.(10.m + 7) + p avec p premier, puisque dans ce cas, si je ne me trompe, p est nécessairement un multiple de 5 ... Et d'autres "règles" de ce type apparaissent quand on examine les décompositions possibles ... Comme il s'agit de calculs modulo 10, il devrait être facile de les répertorier, n'est-ce pas ?
Merci de votre intérêt pour ces babioles, sans doute étudiées depuis un temps plus que certain ...
Bien cordialement
JLB

Dreamer · July 2021

Peut-être pas tant que cela quand même car cette suite à été inscrite en 2005 et quand on voit avec quelles autres suites elle est en lien (il est possible que tous les liens n'aient pas encore été trouvés), l'une des plus anciennes est renseignée dans une publication de 1993, ce qui n'est quand même pas l'époque de Mathusalem.

Merci pour cette référence.

À bientôt.

jelobreuil · July 2021

Dreamer, quand j'évoquais la "mise à jour de nos connaissances", je me référais à ce que toi, lourrran et moi connaissions, d'après le message de lourrran avant qu'il l'ait édité ...
Une troisième question peut-être un peu intéressante : quels nombres premiers peuvent s'écrire sous la forme 2.p + p' avec p et p' jumeaux ? Un exemple que je viens de remarquer : 127 = 2.43 + 41
Bien cordialement
JLB

lourrran · July 2021

Un nombre de la forme 10n+5 qui s'écrirait sous la forme 2*(10n+7) + p , avec p premier, c'est possible.
Mais dans ce cas, p est imposé, p vaut 5.

Pour ne pas trop dévier du thème, on peut chercher les 2 sous-suites : Décomposer n en 2p+p' avec p<p' et l'autre sous suite, en imposant p>p'.

La restriction p, p' nombre premiers jumeaux est une sacrée réduction, et change complètement le problème. Avec cette restriction, pour un nombre premier n, on a au mieux une décomposition. et très souvent 0.

jelobreuil · July 2021

lourrran, tu as raison de me signaler cette inexactitude de ma part, j'aurais dû aller plus loin dans mon analyse et préciser : un nombre premier de la forme (10n+9) peut se mettre sous la forme 2(10m+7) + p, avec 10m+7 et p premier, si et seulement si p = 5, ce qui d'ailleurs impose n = 2m+1.
Par exemple, 139 = 2*67 + 5
Les premiers nombres premiers dont l'une des décompositions fait apparaître une paire de jumeaux sont les suivants, si je n'en oublie pas par inadvertance : 11, 13, 17, 19 (grâce à la triplette 3-5-7 !), 37 (2.13 + 11), 53 (2.17 + 19), 89 (2.29 + 31), 127 (2.43 + 41), ...
Là-dessus, une question me vient naturellement : est-ce que tous les couples de jumeaux ont une descendance de ce style ?
Il serait sans doute plus rapide de prendre ce problème à l'envers : quels sont les nombres premiers engendrés par les couples de jumeaux selon le schéma 2p+p' ?
Bien cordialement
JLB

lourrran · July 2021

Est-ce que tous les couples de jumeaux ont une descendance de ce style ?
Non, loin de là :
Sur les 249 plus petits couples de nombres premiers, 128 donnent une solution ( (11,13) etc etc), et 121 ne donnent pas de solution (71,73) , (107,109) ...

Est-ce que en prenant 2 nombres premiers au hasard , l'un des nombres 2^p+p' ou p+2p' est premier, quelle est la proportion de cas où on tombe sur un nombre premier, est-ce que cette proportion devient plus forte quand p et p' sont 2 nombres premiers jumeaux ?
Pour la dernière question, la réponse doit être oui (en faisant en sorte que la question soit un peu mieux définie ...)
En partant de 2 nombres premiers jumeaux, on a l'assurance que ni 2p+p' ni p+2p' n'est multiple de 3.
Alors qu'avec 2 nombres premiers pris au hasard, on risque de tomber sur un multiple de 3.
Donc oui, en partant de 2 premiers jumeaux, on a un peu plus de chance d'avoir un nombre premier que dans le cas général.

jelobreuil · July 2021

lourrran, merci beaucoup de trouver assez intéressantes mes questions "primaires" !
Est-ce qu'il est admis de considérer la triplette 3-5-7 comme constituant les deux premiers couples de jumeaux ? Autrement dit, le couple (11, 13) est-il le premier ou le troisième ?
Et à titre indicatif, avec combien de chiffres s'écrivent les nombres du 249ième couple ?
D'autre part, jusqu'au couple (197, 199) où je suis parvenu, je constate que parmi les nombres descendants d'un couple de jumeaux (p, p') selon ce schéma (2.p + p' ou 2.p' + p), il n'y a que des nombres premiers, semi-premiers ou produits de seulement 3 facteurs premiers, y compris un cube (125 = 2.41 + 43). Jusqu'où cette constatation est-elle valable ?
Pour ce qui est des nombres à trois facteurs premiers, ce sont, outre 125, 325 ( = 2.109 + 107 = 5.5.13), 539 (= 2.179 + 181 = 7.7.11), 575 ( = 2.191 + 193 = 5.5.23) et 595 (= 2.199 + 197 = 5.7.17).
Dernières curiosités notables : le couple (59, 61), le premier couple (et le seul dans mon échantillon très réduit) qui engendre un autre couple (179, 181), précède directement le premier couple qui n'engendre pas de nombre premier (71, 73), lequel engendre un couple de semi-premiers (215 = 5.43, 217 = 7.31), et ces deux nombres, est-ce un hasard, encadrent 216 qui n'est autre que le cube de 6 ! Avoue qu'il y a là suffisamment d'ingrédients pour émoustiller un amateur d'ésotérisme ou de symbolisme ... "Bizarre, bizarre ...", n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB

lourrran · July 2021

Je travaille sur un fichier qui peut te paraître énorme, mais que d'autres vont considérer comme ridiculement petits. Les nombres premiers jusqu'à 400000.
Donc comme on s'intéresse à des nombres tels que 2p+p' soit premier, avec p et p' très proches, je suis limité à p < 133333.
Il y a 249 couples de nombres premiers sur ce domaine.

Ce que tu dis sur les nombres premiers ou semi-premiers est obligatoire, ou quasiment.
Tu t'intéresses aux premiers jumeaux, donc forcément des couples du type (6k-1, 6k+1), en dehors du cas particulier (3,5) [small]( tiens , déjà le nombre 6 apparaît ici)[/small]
Du coup, les sommes 2p+p' ou p+2p' sont du type 18k-1 ou 18k+1.
Donc des nombres qui ne sont pas multiples de 3,ni de 2 bien sûr.
Un nombre qui n'est ni premier, ni semi-premier, et pas multiple de 3, il est donc 'au moins' du type a*b*c avec a,b,c tous les 3 supérieurs ou égaux à 5.
Dans le domaine où tu travailles, il n'y a guère que 5*5*5, 5*5*7, 5*5*11, 5*7*7 , 5*5*13 et quelques autres qui pourraient t'embêter.
Sur ce domaine, il y a très peu de nombres qui ne sont ni premiers, ni semi-premiers, ni multiples de 2, ni multiples de 3.

La propriété que tu constates autour du nombre 6 ...

6 est le produit des 2 plus petits nombres premiers
30 est le produit des 3 plus petits nombres premiers , et 30 apparaît aussi dans ton constat : 59,61 entourent un multiple de 30, et 179,181 entourent aussi un multiple de 30.
Les nombres tels que 2, 6, 30, 210, 2310 etc etc jouent bien évidemment des rôles particuliers.

Par exemple , si on cherche des quadruplets de nombres premiers du type n-7,n-1,n+1, n+7, ce sera forcément avec des n multiples de 30 (à vérifier, je viens d'inventer ce résultat)

Dreamer · July 2021

Bonsoir.

Sans vouloir freiner quoi que ce soit, j'ai l'impression qu'il commence à y avoir beaucoup de simples questions.

Ce ne serait pas bête de commencer à élaborer un plan de travail.

À bientôt.

jelobreuil · July 2021

Oui, en effet, Dreamer, c'est la sempiternelle histoire du fil (de laine, hein !) qui dépasse de la pelote et sur lequel on tire, on tire ... et plus on tire, plus il en vient ...

lourrran, merci de toutes ces explications bienvenues !
Je vais vérifier tout de suite ce qu'il en est jusqu'à 1000 : sur mes tables de Laborde (un vieux souvenir de mes années estudiantines), je m'étais amusé un jour à noter les valeurs des écarts numériques entre deux nombres premiers consécutifs : et je trouve en effet des séquences 6-2-6 d'écarts autour de 30 (23-29-31-37), 60, 270, 570, et c'est tout !
Je constate aussi que les séquences 4-2-4 sont nettement plus nombreuses ...
Bien cordialement
JLB

Dreamer · July 2021

Cette constatation est simple à établir une fois qu'on a vu qu'à part 2 et 3, tout nombre premier est de la forme $6k+1$ ou $6k-1$, ce qui explique les écarts de deux (pour un même k, les deux nombres sont premiers), de 4 (pour des k successifs) et de 6 (pour la même "famille" et des k successifs).

À bientôt.

LEG · July 2021

Bonjour
@jelobreuil

Dernières curiosités notables : le couple (59, 61), le premier couple (et le seul dans mon échantillon très réduit) qui engendre un autre couple (179, 181),

En définitive il n'y a a qu'un couples de Familles jumelles en progression arithmétique de raison 30, sur les 3 couples possibles pour engendrer un autre couple de premiers jumeaux.
le couple de Familles 29 et 31 modulo 30 qui ne peu donc donner un autre couple de premiers jumeaux issue des deux familles jumelles.

le couple 269 et 271 engendre un autre couple de jumeaux ....etc

Ci joint un aperçu des deux familles jumelles

Une simple question

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Bonjour!

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