Diviseur moyen
dans Arithmétique
Bonjour,
Quelle est la meilleure majoration à ce jour du diviseur moyen de $n$ soit $\frac{\sigma(n)}{\tau(n)}$ pour $\tau(n)\to\infty$? Peut-on obtenir un $O_{\varepsilon}(\log^{2+\varepsilon}n)$ quand $\tau(n)\to\infty$ ?
Merci.
Quelle est la meilleure majoration à ce jour du diviseur moyen de $n$ soit $\frac{\sigma(n)}{\tau(n)}$ pour $\tau(n)\to\infty$? Peut-on obtenir un $O_{\varepsilon}(\log^{2+\varepsilon}n)$ quand $\tau(n)\to\infty$ ?
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
De plus, comme $\tau(n) \ll n^\varepsilon$ et $\sigma(n) \gg n$, il ne va pas être simple d'obtenir une majoration en $(\log n)^{2+o(1)}$ sans autre précision sur $n$.
Au fait, j'ai un petit doute : ce que tu notes $\tau(n)$, c'est bien le nombre de diviseurs de $n$, non, et pas la fonction tau de Ramanujan ?
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{\sigma(k)}{\tau(k)} \sim C\frac{n^2}{\sqrt{\log n}}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$
$$\sum_{x < n \leqslant x+y} \frac{\sigma(n)}{\tau(n)} = \frac{xy}{\sqrt{\log x}} \left\lbrace C_0 + \frac{C_1}{\log x} + \dotsb + \frac{C_N}{(\log x)^N} + O \left( \frac{1}{(\log x)^{N+1}} \right) \right\rbrace$$
avec
$$C_0 := \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \prod_p p \sqrt{\frac{p}{p-1}} \log \left( 1 +\frac{1}{p} \right) \approx 0,3569 \dotsc$$
Mais ce n'était pas l'objet de ta question première.