Curseur des nombres premiers

Tu as de ces questions toi alors ! (:D

La réponse est oui pour les $4n+1$ et $4n+3$, d'après un théorème de Littlewood datant de 1914. Avec des notations savantes, on a $$\pi(x;4,3)-\pi(x;4,1) = \Omega_{\pm}\left(x^{1/2} \frac{\log \log \log x}{\log x}\right).$$ Ici $\pi(x;q,a)$ est le nombre de nombres premiers congrus à $a$ modulo $q$ inférieurs à $x$, et $f(x) = \Omega_{\pm}(g(x))$ signifie que $\limsup_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} > 0$ et $\liminf_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} < 0$. Autrement dit, le résultat de Littlewood dit qu'il existe une constante $c > 0$ telle que, pour des $x$ aussi grands que l'on veut, on a $$\pi(x;4,3)-\pi(x;4,1) \geq cx^{1/2} \frac{\log \log \log x}{\log x},$$ et que pour (d'autres) $x$ aussi grands qu'on veut, on a $$\pi(x;4,3)-\pi(x;4,1) \leq -cx^{1/2} \frac{\log \log \log x}{\log x}.$$

En particulier on a $$\limsup_{x \to +\infty} \pi(x;4,3)-\pi(x;4,1) = +\infty$$ et $$\liminf_{x \to +\infty} \pi(x;4,3)-\pi(x;4,1) = -\infty,$$ et comme cette quantité ne peut augmenter ou diminuer que par incréments de $1$, on obtient bien ce que tu veux.

Bonsoir.

Pour que je comprenne bien, pour $n \in \mathbb{N}$, on prend les familles $8 k + a$ avec $a \in {1, 3, 5, 7}$ avec par exemple, pour un point déterminé du plan de Gauss, quand le nombre est premier, $a=1$ qui code "$+1$", $a=3$ qui code "$+i$", $a=5$ qui code "$-1$" et $a=7$ qui code "$-i$" ?

Si c'est cela, ce ne doit pas être dur de faire la ligne brisée qui effectue le parcours (tortue Logo, si mes souvenirs ne sont pas trop mauvais, il me semble qu'il existe un module python pour cela).

À bientôt.

Peut-être, je n'ai pas compris, mais si on commence à $3$, on va vers la gauche, donc on n'atteindra pas $4$. Si on commence à $5=4+1$, on va vers la droite, donc on n'atteindra pas $4$.
À moins de considérer que si on part de $7=4+3$, on va vers la gauche en traversant le $5=4+1$ sans changer de direction.

@marco : je ne pense pas que le déplacement du curseur dépende de sa position comme tu l'as interprété (sinon la réponse est vraiment triviale).

Je l'interprète de la manière suivante : à l'étape $n$, on va à droite ou à gauche selon si le $n$-ième nombre premier est congru à $1$ ou $3$ modulo $4$. D'où ma réponse ci-dessus.