Somme des chiffres de $10^{2046} - 2046$

Mohammed R · August 2021

Bonjour à toutes et à tous,
J'espère que tout le monde se porte au mieux de sa forme.

Comment déterminer la somme des chiffres du nombre $A$ si $A$ vaut $10^{2046} - 2046$ ?
Je remarque que $10^4 - 2046 = 7 954$, que $10^5 - 2046 = 97 954$, que $10^6 - 2046 = 997 954$ et me dis que, pour $n > 3$, la somme des chiffres de $10^n - 2046$ vaut $7+9+5+4 + 9(n-4) = 9n + 25 - 36 = 9n-11$, et que donc la somme des chiffres de $A$ vaut $9*2046 - 11 = 18403$.
Or, la réponse est $18421$. Quelqu'un peut m'expliquer mon erreur ?

Merci d'avance,
Mohammed R.

nicolas.patrois · August 2021

Presque tous les chiffres sont des 9 (combien ?), les autres sont…

Sinon, on demande au serpent :

>>> sum(map(int,str(10**2046-2046)))
18403

Dreamer · August 2021

Bonjour.

Ton calcul est bon. Où as-tu trouvé la solution dont tu parles ?

À bientôt.

Mohammed R · August 2021

nicolas.patrois, Dreamer :
D'accord merci beaucoup, ça m'avait un peu perturbé de ne pas comprendre.

Dreamer :

Il s'agit de l'exercice 10 du PDF ci-joint, destiné à ceux qui rentrent en seconde aux lycées Henri IV et Louis-le-Grand :

Merci encore,
Mohammed R.

Dreamer · August 2021

La réponse est donnée sans justification.

Qu'il y ait une coquille n'est pas impossible, malgré le soin apporté au pdf.

Cela aurait quand même été mieux d'avoir un petit développement, car il n'est pas beaucoup plus long que la réponse.

À bientôt.

Mohammed R · August 2021

D'accord, je m'en doutais mais je me devais d'apporter une réponse sûre.

Merci pour tout,
Mohammed R.

Chaurien · August 2021

J'ai bien aimé l'attaque de Mohammed R, que j'appelle « méthode du modèle réduit ».
Autre rédaction :
$10^{2046}-2046=10^{2046}-1-2045=\underbrace{999...9}_{ 2042~\textrm {fois}~9}0000+9999-2045=999...97954$.
D'où la somme des chiffres : $(9 \times 2042)+7+9+5+4=18~403$.
Merci à FdP, à qui j'ai piqué le \underbrace : c'est ça l’apprentissage du compagnon ;-).
Et bravo à nos lycées d'excellence qui proposent de tels tests, même s'ils donnent parfois des corrigés erronés.
Je vais le communiquer à ma petite-fille qui rentre en Seconde (mais dans un autre lycée) ; j'ignore comment elle le recevra :-S.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Mohammed R · August 2021

Merci !
Oui, c'est une bonne idée ! Personnellement, je le fais car c'est mon petit frère qui a la chance de rentrer dans un de ces lycées et je l'aide un petit peu mais je le recommande à tous les élèves de 3ème motivés, intéressés et, pour les exercices moins calculatoires, doués (sans vouloir blesser personne) !

Mohammed R.

nicolas.patrois · August 2021

Chaurien a écrit:

même s'ils donnent parfois des corrigés erronés.

C’est pour obliger à démontrer et à être sûr de sa démonstration. :-D

Chaurien · August 2021

Par association d'idées, ça me rappelle un énoncé que j'avais posé à une compétition :
Un nombre s'écrit en base dix avec $1990$ fois le chiffre $6$. Quelle est la somme des chiffres de son carré ?

Rescassol · August 2021

Bonjour,

n=1990
x=2*(10**n-1)//3
y=sum(map(int,str(x**2)))
print(y)

Réponse: $17910$

Cordialement,

Rescassol

nicolas.patrois · August 2021

>>> sum(map(int,str(int("6"*1990)**2)))
17910

Mohammed R · August 2021

Chaurien :
Nous avons :
$6^2 = 36$
$66^2 = 4356$
$666^2 = 443556$
$6666^2 = 44435556$ (Tout ce qui précède a été fait à la calculatrice, mais ce n'est pas bien long de faire de simples petites multiplications posées)
Je conjecture que si $a_n = \sum_{k=0}^{n} 6\times 10^k$, alors $a_n^2$ contient $n-1$ fois le chiffre $4$, et de même le chiffre $5$, ainsi qu'une fois le chiffre $3$ et une fois le chiffre $6$, et donc la somme des chiffres de $a_n$ vaut $(n-1) \times (4+5) + (3+6) = (n-1) \times 9 + 9 = 9n$. Ainsi, la somme des chiffres de $a_{1990}$ vaut $9 \times 1990 = 18000 - 90 = 17910$ (:D

Mohammed R · August 2021

Bon, par contre, le démontrer est une autre affaire...

Chaurien · August 2021

@ Rescassol, Nicolas.Patrois.
C'était l'époque où de tels esclaves électroniques n'existaient pas, ou du moins leur usage n'était pas aussi répandu. Et de toutes façons à la compétition en question, pas de matériel électronique autorisé. Pour dépasser leur capacité, combien de chiffres va-t-il falloir supposer ? $10^{2021}$, ou bien $n$, tout simplement ?

Chaurien · August 2021

Bravo, Mohammed R, la méthode du modèle réduit a encore fait la preuve de son efficacité. Une fois le résultat trouvé, je suis certain que tu ne vas pas avoir de difficulté à le démontrer.

Mohammed R · August 2021

Pardon mais je ne vois pas comment... Les méthodes empiriques ne sont pas assez rigoureuses et je ne vois pas trop quel genre de raisonnement par récurrence je pourrais bien mettre en place :-(

Dom · August 2021

Si je comprends bien « la méthode du modèle réduit » désigne une méthode où l’on est convaincu qu’une règle valable pour les $n$ premiers entiers s’étend à tous les autres ?
C’est en lien avec les « récurrences immédiates », si on peut dire.

Chaurien · August 2021

Ce que j'appelle « méthode du modèle réduit », c'est le fait de traiter la question avec des valeurs du paramètre plus accessibles (ici c'est le nombre de chiffres), ce qui permet de découvrir une conjecture. Rien de bien extraordinaire, en fait, mais il fallait y penser.
Une fois qu'on a trouvé cette conjecture, il reste à la démontrer, mais le plus dur est fait. D'une part, on exprime le nombre en question, le carré de $666...66$ avec $n$ chiffres. D'autre part on exprime sa valeur conjecturée. Et on établit l'égalité. J'appelle ça « méthode du tunnel ». Pourquoi ? Devinez... J'aime beaucoup la récurrence, mais on n'en a pas besoin ici.
Bon courage.
Fr. Ch.

Fin de partie · August 2021

\begin{align}A&=10^{2046} - 2046\\
&=10^{2046}-10^4+7954\\
&=10^4\left(10^{2042}-1\right)+7954\\
\end{align}
Or, $\displaystyle 10^1-1=9,10^2-1=99,10^3-1=999,...$
$10^{2042}-1$ est un nombre composé de $2042$ chiffres tous égaux à $9$
Donc la somme des chiffres de $A$ est $7+9+5+4+2042\times 9=18403$

PS.
Chaurien: Comment crois-tu que j'ai découvert cette possibilité de $\LaTeX$? B-)-
On apprend en regardant ce que font les autres.

marco · August 2021

$A=\underbrace{66\dots666}_{1990~ \mathrm{fois}}=\frac{6}{9} \times (10^{1990}-1)$.

Donc $A^2=\frac{4}{9} \times (10^{1990}-1) \times(10^{1990}-1)=4 \times \underbrace{111 \dots 11}_{1990 ~ \mathrm{fois}} \times (10^{1990}-1)=\underbrace{444 \dots 44}_{1990 ~ \mathrm{fois}}\times 10^{1990} - \underbrace{444 \dots 44}_{1990 ~ \mathrm{fois}}$

Donc $A^2$ est le nombre constitué de $1989$ fois le chiffre $4$, suivi de $3$, suivi de $1989$ fois le chiffre $5$, suivi de $6$.

Mohammed R · August 2021

marco, je comprends mieux et te remercie (tu)

jandri · August 2021

Pour prolonger l'exercice proposé par Chaurien :

si $A=33\dots33$ avec $n$ chiffres $3$ alors la somme des chiffres de $A^2,(2A)^2,(3A)^2,(4A)^2,(5A)^2,(6A)^2,(7A)^2$ est la même.

Mais cela n'est plus vrai pour $(8A)^2$.

Mohammed R · August 2021

jandri, merci pour cet exercice qui a l'air intéressant, je regarderai demain car je suis assez fatigué je dois t'avouer ;-)

jandri · August 2021

La raison pour laquelle cela n'est plus vrai pour $(8A)^2$ peut se justifier.
Pour cela il est plus simple de considérer plus généralement les nombres qui s'écrivent $kA_n^2$ pour $A_n=33\dots33$ avec $n$ fois $3$ (en base $10$).

On montre que la somme des chiffres de $kA_n^2$ est égale à $9n$ quand $k=10a+b$ avec $a$ et $b$ des chiffres qui vérifient :
soit $b=0$, soit $a+b\leq9$ et $b\geq a+1$, soit $a+b\geq10$ et $b\geq a+2$.

Ce n'est pas long à démontrer en partant de $A_n^2=11\dots1100\dots00-11\dots11$ (avec $n$ répétitions de chiffres).

J'ai vérifié avec Maple que la somme des chiffres n'est pas toujours égale à $9n$ quand $k<100$ ne vérifie pas ces conditions.

Somme des chiffres de $10^{2046} - 2046$

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