Somme des chiffres de $10^{2046} - 2046$
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous,
J'espère que tout le monde se porte au mieux de sa forme.
Comment déterminer la somme des chiffres du nombre $A$ si $A$ vaut $10^{2046} - 2046$ ?
Je remarque que $10^4 - 2046 = 7 954$, que $10^5 - 2046 = 97 954$, que $10^6 - 2046 = 997 954$ et me dis que, pour $n > 3$, la somme des chiffres de $10^n - 2046$ vaut $7+9+5+4 + 9(n-4) = 9n + 25 - 36 = 9n-11$, et que donc la somme des chiffres de $A$ vaut $9*2046 - 11 = 18403$.
Or, la réponse est $18421$. Quelqu'un peut m'expliquer mon erreur ?
Merci d'avance,
Mohammed R.
J'espère que tout le monde se porte au mieux de sa forme.
Comment déterminer la somme des chiffres du nombre $A$ si $A$ vaut $10^{2046} - 2046$ ?
Je remarque que $10^4 - 2046 = 7 954$, que $10^5 - 2046 = 97 954$, que $10^6 - 2046 = 997 954$ et me dis que, pour $n > 3$, la somme des chiffres de $10^n - 2046$ vaut $7+9+5+4 + 9(n-4) = 9n + 25 - 36 = 9n-11$, et que donc la somme des chiffres de $A$ vaut $9*2046 - 11 = 18403$.
Or, la réponse est $18421$. Quelqu'un peut m'expliquer mon erreur ?
Merci d'avance,
Mohammed R.
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Réponses
Sinon, on demande au serpent :
-- Schnoebelen, Philippe
Ton calcul est bon. Où as-tu trouvé la solution dont tu parles ?
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
D'accord merci beaucoup, ça m'avait un peu perturbé de ne pas comprendre.
Dreamer :
Il s'agit de l'exercice 10 du PDF ci-joint, destiné à ceux qui rentrent en seconde aux lycées Henri IV et Louis-le-Grand :
Merci encore,
Mohammed R.
Qu'il y ait une coquille n'est pas impossible, malgré le soin apporté au pdf.
Cela aurait quand même été mieux d'avoir un petit développement, car il n'est pas beaucoup plus long que la réponse.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Merci pour tout,
Mohammed R.
Autre rédaction :
$10^{2046}-2046=10^{2046}-1-2045=\underbrace{999...9}_{ 2042~\textrm {fois}~9}0000+9999-2045=999...97954$.
D'où la somme des chiffres : $(9 \times 2042)+7+9+5+4=18~403$.
Merci à FdP, à qui j'ai piqué le \underbrace : c'est ça l’apprentissage du compagnon ;-).
Et bravo à nos lycées d'excellence qui proposent de tels tests, même s'ils donnent parfois des corrigés erronés.
Je vais le communiquer à ma petite-fille qui rentre en Seconde (mais dans un autre lycée) ; j'ignore comment elle le recevra :-S.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Oui, c'est une bonne idée ! Personnellement, je le fais car c'est mon petit frère qui a la chance de rentrer dans un de ces lycées et je l'aide un petit peu mais je le recommande à tous les élèves de 3ème motivés, intéressés et, pour les exercices moins calculatoires, doués (sans vouloir blesser personne) !
Mohammed R.
C’est pour obliger à démontrer et à être sûr de sa démonstration. :-D
-- Schnoebelen, Philippe
Un nombre s'écrit en base dix avec $1990$ fois le chiffre $6$. Quelle est la somme des chiffres de son carré ?
Cordialement,
Rescassol
-- Schnoebelen, Philippe
Nous avons :
$6^2 = 36$
$66^2 = 4356$
$666^2 = 443556$
$6666^2 = 44435556$ (Tout ce qui précède a été fait à la calculatrice, mais ce n'est pas bien long de faire de simples petites multiplications posées)
Je conjecture que si $a_n = \sum_{k=0}^{n} 6\times 10^k$, alors $a_n^2$ contient $n-1$ fois le chiffre $4$, et de même le chiffre $5$, ainsi qu'une fois le chiffre $3$ et une fois le chiffre $6$, et donc la somme des chiffres de $a_n$ vaut $(n-1) \times (4+5) + (3+6) = (n-1) \times 9 + 9 = 9n$. Ainsi, la somme des chiffres de $a_{1990}$ vaut $9 \times 1990 = 18000 - 90 = 17910$ (:D
C'était l'époque où de tels esclaves électroniques n'existaient pas, ou du moins leur usage n'était pas aussi répandu. Et de toutes façons à la compétition en question, pas de matériel électronique autorisé. Pour dépasser leur capacité, combien de chiffres va-t-il falloir supposer ? $10^{2021}$, ou bien $n$, tout simplement ?
C’est en lien avec les « récurrences immédiates », si on peut dire.
Une fois qu'on a trouvé cette conjecture, il reste à la démontrer, mais le plus dur est fait. D'une part, on exprime le nombre en question, le carré de $666...66$ avec $n$ chiffres. D'autre part on exprime sa valeur conjecturée. Et on établit l'égalité. J'appelle ça « méthode du tunnel ». Pourquoi ? Devinez... J'aime beaucoup la récurrence, mais on n'en a pas besoin ici.
Bon courage.
Fr. Ch.
&=10^{2046}-10^4+7954\\
&=10^4\left(10^{2042}-1\right)+7954\\
\end{align}
Or, $\displaystyle 10^1-1=9,10^2-1=99,10^3-1=999,...$
$10^{2042}-1$ est un nombre composé de $2042$ chiffres tous égaux à $9$
Donc la somme des chiffres de $A$ est $7+9+5+4+2042\times 9=18403$
PS.
Chaurien: Comment crois-tu que j'ai découvert cette possibilité de $\LaTeX$? B-)-
On apprend en regardant ce que font les autres.
Donc $A^2=\frac{4}{9} \times (10^{1990}-1) \times(10^{1990}-1)=4 \times \underbrace{111 \dots 11}_{1990 ~ \mathrm{fois}} \times (10^{1990}-1)=\underbrace{444 \dots 44}_{1990 ~ \mathrm{fois}}\times 10^{1990} - \underbrace{444 \dots 44}_{1990 ~ \mathrm{fois}}$
Donc $A^2$ est le nombre constitué de $1989$ fois le chiffre $4$, suivi de $3$, suivi de $1989$ fois le chiffre $5$, suivi de $6$.
si $A=33\dots33$ avec $n$ chiffres $3$ alors la somme des chiffres de $A^2,(2A)^2,(3A)^2,(4A)^2,(5A)^2,(6A)^2,(7A)^2$ est la même.
Mais cela n'est plus vrai pour $(8A)^2$.
Pour cela il est plus simple de considérer plus généralement les nombres qui s'écrivent $kA_n^2$ pour $A_n=33\dots33$ avec $n$ fois $3$ (en base $10$).
On montre que la somme des chiffres de $kA_n^2$ est égale à $9n$ quand $k=10a+b$ avec $a$ et $b$ des chiffres qui vérifient :
soit $b=0$, soit $a+b\leq9$ et $b\geq a+1$, soit $a+b\geq10$ et $b\geq a+2$.
Ce n'est pas long à démontrer en partant de $A_n^2=11\dots1100\dots00-11\dots11$ (avec $n$ répétitions de chiffres).
J'ai vérifié avec Maple que la somme des chiffres n'est pas toujours égale à $9n$ quand $k<100$ ne vérifie pas ces conditions.