Zéro non trivial réel de $\zeta$

Oui. Pour $\mathfrak{Re}(s) > 0$ on a facilement par sommation par parties que $$\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - s\int_1^{+\infty} \frac{\{u\}}{u^{s+1}} \,\mathrm{d}s.$$ De là on trouve facilement $$\frac{1}{\sigma-1} < \zeta(\sigma) < \frac{\sigma}{\sigma-1}$$ pour $\sigma > 0$, et en particulier $\zeta(\sigma) < 0$ pour $0 < \sigma < 1$.