Dérivée polynôme et nombres premiers

Bonjour,

Sur les conseils d'un autre membre, je transfère ici ce post, initialement soumis dans Mathématiques et Informatique.

Je suis béotien dans le domaine, chargé d'enseignement vacataire en informatique et je suis confronté à la problématique suivante:

Je rédige des exercices de python, j'ai tenté de proposer l'écriture d'une fonction faisant le compte des nombres premiers ayant la propriété décrite avec l'exemple suivant de 197. Si on fait correspondre 197 au polynôme P(x)=1*x^2+9*x+7, P'(x)=2*x+9 et 29 est premier. J'avoue avoir pensé à ça plutôt par hasard.

J'obtiens les 100 premiers nombres suivants 2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 61, 67, , 83, 89, 97, 107, 109, 127, 149, 151, 157, 163, 167, 181, 211, 241, 271, 347, 349, 367, 383, 389, 641, 643, 647, 661, 683, 929, 941, 947, 967, 983, 1223, 1249, 1289, 1543, 1549, 1583, 1823, 1847, 1861, 1867, 1889, 2129, 2141, 2143, 2441, 2447, 2467, 2729, 2749, 2767, 2789, 3109, 3121, 3163, 3167, 3181, 3187, 6121, 6143, 6163, 9103, 9109, 9127, 9181, 12101, 12109, 12143, 12149, 12161, 12163, 15101, 15107, 15149, 15161, 18121, 18127, 18143, 18149, 18169, 18181, 21101, 21107, 21149, 24103, 24107, 24109, 24169, 27103 et 27127. Plusieurs nombres premiers amènent évidemment à un même nombre de cette liste.

Je parcours n entiers. Pour chacun, s'il est premier, je dérive le polynôme associé comme décrit dans mon dernier message. Puis je reforme un nombre à partir des coefficients de ce polynôme dérivé. Si ce nombre est premier, je l'associe à son nombre premier générateur.

En faisant 5000 itérations j'obtiens par exemple la distribution {2: 6, 3: 3, 5: 2, 7: 3, 23: 3, 29: 4, 41: 1, 43: 2, 47: 2, 61: 5, 67: 2, 83: 3, 89: 2, 107: 2, 109: 2, 127: 4, 149: 1, 163: 1, 167: 1, 181: 2, 31: 2, 347: 2, 349: 2, 367: 1, 383: 2, 389: 2, 3109: 1, 3121: 2, 3163: 1, 3167: 4, 3181: 1, 3187: 2, 641: 1, 643: 2, 647: 1, 661: 1, 683: 1, 6121: 1, 6143: 1, 6163: 2, 97: 1, 929: 1, 941: 1, 947: 1, 967: 2, 983: 1, 9103: 2, 9109: 1, 9127: 3, 9181: 3, 1223: 2, 1249: 1, 1289: 1, 12101: 3, 12109: 2, 12143: 1, 12149: 2, 12161: 2, 12163: 1}, cad 2 est obtenu à partir de 6 nombres premiers, 3 à partir de 3 ... 9181 à partir de 3 etc...

En faisant la courbe de la fonction de compte des nombres premiers et celle des nombres premiers ayant la propriété décrite précédemment, j'obtiens le résultat dans "image.png". La bleue est la fonction de compte des nombres premiers [fr.wikipedia.org] et la orange est fonction de compte des nombres premiers ayant la propriété décrite précédemment.

On m'a indiqué "qu'avec les petits nombres n1=197 et n2=29, n1/n2 est proche de 7. n2 est de l'ordre de n1 * log(n1)/10, où log est la fonction logarithme en base 10. Connaissant n1, on connaît l'ordre de grandeur de n2 ; on connaît donc sa probabilité d'être premier, et donc on sait estimer une équation de cette courbe orange même pour des nombres très grands."

Je n'ai hélas aucune compétence pour conjecturer clairement quelque chose, mais je souhaiterais juste avoir quelques idées du pourquoi la courbe orange croît "doucement", est-ce qu'il est possible d'en estimer une équation, en lien (ou non) avec la dérivation des polynômes etc...

En faisant aussi 100000 itérations j'obtiens la distribution dans "image_100000.png".

Très bon dimanche