Une équation avec l’indicateur d’Euler

$a-\phi(a)-1$ compte le nombre d'entiers $x$ compris entre $1$ et $a-1$, tel que $x$ n'est pas premier avec $a$.
Si $a$ n'est pas premier, $a=pc$ avec $p$ le plus petit premier divisant $a$, et $c>1$, donc $p$ et $2p$ ne sont pas premiers avec $a$. Si $c>2$, $1<p<2p<a$, on a alors $a-\phi(a)-1 \geq 2$.
(Si $c=2$, alors comme $p\leq c$, $p=2$, et $a=4$, et on retrouve la solution $a=4$, $b=2$)
Donc si $c>2$, $(a- \phi(a)-1)!$ est divisible par $2$.
Donc $2^a+(a-\phi(a)-1)!$ est divisible par $2$, or c'est égal à $a^b+1$, donc $a^b$ est égal à $1$ modulo $2$, donc $a$ est impair.

Ma démonstration est à revoir. Peut-être quelqu'un aura trouvé d'ici là...

Démonstration plus courte:
1) Si $a$ est divisible par deux nombres premiers distincts, c'est-à-dire que $a$ ne s'écrit pas $a=p^k$ avec $p$ premier: alors $a=p^kc$ avec $p$ premier, $p \wedge c=1$ et $c>p$.
$p, 2p, \dots, (p^{k-1}c-1)p$ ne sont pas premiers avec $a$, et sont strictement plus petits que $a$.
De plus, $c$ aussi n'est pas premier avec $a$ et est strictement plus petit que $a$. Et $c$ n'apparaît pas dans la liste ci-dessus, car il n'est pas divisible par $p$.
Donc $a-\phi(a)-1 \geq p^{k-1}c-1+1=p^{k-1}c$.
Donc $(p^{k-1}c)!$ divise $(a-\phi(a)-1)!$.
$p<c$, donc $p<p^{k-1}c$. Et $p$ et $p^{k-1}c$ apparaissent tous les deux dans la produit $(p^{k-1}c)!$.
Donc $p^kc=p \times p^{k-1}c$ divise $(p^{k-1}c)!$
Donc $a=p^k c$ divise $(a-\phi(a)-1)!$.
Si $2^a+(a-\phi(a)-1)!=a^b+1$, alors $2^a\equiv 1 \pmod a$.
Donc d'après le lemme ci-dessous, $a=1$, ce qui est impossible.

Lemme: $2^a\equiv 1 \pmod a$ $\implies a=1$.

2) Si $a=p^k$ avec $p$ premier, alors $\phi(a)=p^k-p^{k-1}$, donc $a-\phi(a)-1=p^{k-1}-1$.
a) Si $k>2$, alors $p^{k-1} \geq p^2$, donc $p^{k-1}-1 \geq p^2-1 \geq p$.
Donc $p$ divise $(p^{k-1} -1)!$, donc $(a-\phi(a)-1)!$. De plus $p$ divise $a^b=p^{kb}$.
Donc si $ 2^a+(a-\phi(a)-1)!=a^b+1$, alors $2^{p^k} \equiv 1 \pmod p$. Or d'après le petit théorème de Fermat $2^p\equiv 2 \pmod p$, donc $2^{p^k}= (2^p)^{p^{k-1}}\equiv 2^{p^{k-1}}\equiv \cdots \equiv 2 \pmod p$.
Donc $2\equiv 1 \pmod p$, ce qui est impossible.
b) Si $k=2$, alors l'équation s'écrit $2^{p^2}+(p-1)!=p^{2b}+1$. (Je ne sais pas si $k=2$).

Je réagis au tout premier message de Marco :

Si $a$ est premier, l'équation devient $2^a=a^b$ ... qui admet les solutions (2,2) et (4,2)
Oui.
Mais 4 n'est pas premier.
Donc uniquement (2,2)

(tu)