Approximation par excès de nombres premiers

Merci Sylvain pour ces suggestions.

Les exemples que j'ai fournis n'ont qu'une solution et il en va de même pour les onze suivants : $7+2 = 3^2$, $\ 13+3 = 4^2$, $\ 17+1 = 2\times 3^2$, $\ 19+8 = 3^3$, $\ 89+1 = 10\times 3^2$, $\ 131+4 = 5\times 3^3$, $\ 151+11 = 2\times 3^4$, $\ 263+7 = 10\times 3^3$, $\ 4133+241 = 2\times 3^7$, $\ 9829+171 = 10^4$, $\ 9833+167 = 10^4$.
Pour $1033,\ 10663,\ 10667,\ 562577$ et $\ 562579$ on a unicité de $m$ mais pas du triplet :
- $1033+2 = 115\times 3^2$ et $\ 1033+20 = 13\times 3^4$,
- $10663+2 = 1185\times 3^2$, $\ 10663+29 = 44\times 3^5$ et $10663+272 = 5\times 3^7$,
- $10667+25 = 44\times 3^5$ et $\ 10667+268 = 5\times 3^7$,
- $562577+211 = 772\times 3^6$ et $\ 562577+1669 = 86\times 3^8$,
- $562579+209 = 772\times 3^6$ et $\ 562579+1667 = 86\times 3^8$.
(correction de 272 en 772 suite à la remarque de babsgueye)

En général, il y a de très nombreuses solutions (nombre qui augmente avec $p$).

Concernant ta suggestion, la solution de $x^x = p$ est donnée par $x = \dfrac{\log(p)}{W(\log(p))},$ où $W$ est la fonction de Lambert. A priori, je ne vois pas pourquoi la partie entière de cette valeur conduirait à une solution pour tout nombre premier suffisamment grand.

Par exemple pour $p=562579$, $\ x^x=p$ est vérifié pour $x\simeq 6.87$, ce qui conduit en suivant ta proposition à $\ m = k = 5$, $\ l=37$ et donc $\ r=15546>5^5$. Le fait de tronquer l'exposant ne permet pas d'avoir un reste assez proche de $p$ !

En fait, je doute qu'il soit possible d'avoir une formule close d'une solution pour tout nombre premier, mais l'idée reste intéressante.

Merci babsgueye pour l'observation.
J'ai corrigé la coquille dans mon message initial.

L'encadrement que tu proposes est tout à fait juste, et le problème est équivalent à montrer que pour $p$ premier suffisamment grand, il existe un tel intervalle contenant un entier.

Pour un nombre premier quelconque ça n'a rien d'évident. Pour continuer avec mes exemples, pour $p=21617513$ on a pour $m^{k+1}$ les solutions $3^2$, $3^5$, $3^8$, $3^{12}$ puis $4^5$ et $4^8$ et enfin $6^8$.

Cette approche peut s'avérer fructueuse.