Ensembles remarquables
dans Arithmétique
Bonjour
On m'a donné cet exercice sur les ensembles remarquables.
On dit qu'un ensemble $ \{ p_1, p_2, \ldots\} $ est remarquable si l'ensemble des concaténations possibles reste un nombre premier (ex: $ \{3,7\} $ est remarquable car $37$ et $73$ sont tous premiers ; idem pour $ \{ 3, 11\} $ mais pas pour $ \{ 7, 11\} $ ).
On note $PR(n)$ la plus petite somme des ensembles remarquables à $n$ éléments (ex: $PR(2) = 3 + 7 = 10$)
Et le but est de calculer $PR(5)$ (mais bon j'aimerais bien trouver quelque chose sur $PR(n)$).
Cependant, je ne trouve aucune ressource sur ces ensembles sous le nom ensemble remarquable, j'ai démontré que les sous-ensembles d'ensemble remarquable étaient remarquables (trivialement), et je pense utiliser $PR(n-1)$ pour trouver $PR(n)$ mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne idée.
Auriez-vous des pistes de réflexions ? Ou alors un livre / une ressource approfondissant le concept d'ensemble remarquable ?
Merci beaucoup !
On m'a donné cet exercice sur les ensembles remarquables.
On dit qu'un ensemble $ \{ p_1, p_2, \ldots\} $ est remarquable si l'ensemble des concaténations possibles reste un nombre premier (ex: $ \{3,7\} $ est remarquable car $37$ et $73$ sont tous premiers ; idem pour $ \{ 3, 11\} $ mais pas pour $ \{ 7, 11\} $ ).
On note $PR(n)$ la plus petite somme des ensembles remarquables à $n$ éléments (ex: $PR(2) = 3 + 7 = 10$)
Et le but est de calculer $PR(5)$ (mais bon j'aimerais bien trouver quelque chose sur $PR(n)$).
Cependant, je ne trouve aucune ressource sur ces ensembles sous le nom ensemble remarquable, j'ai démontré que les sous-ensembles d'ensemble remarquable étaient remarquables (trivialement), et je pense utiliser $PR(n-1)$ pour trouver $PR(n)$ mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne idée.
Auriez-vous des pistes de réflexions ? Ou alors un livre / une ressource approfondissant le concept d'ensemble remarquable ?
Merci beaucoup !
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Réponses
Je ne vois pas vraiment de moyen pour l'instant d'obtenir un critère intéressant pour trouver un ensemble remarquable d'ordre quelconque... ni même d'ordre 5. Il faut juste faire gaffe à ne pas prendre un ensemble tel que la somme des chiffres des nombres qui le composent divise 3, sinon c'est évident que la concaténation ne sera pas un nombre premier puisque 3 la divisera.
Et oui les critères que j'ai trouvé facilement sont :
- de n'avoir que des nombres premiers dans l'ensemble (et pas $2$ ni $5$)
- que $3$ ne divise pas la somme des chiffres des éléments de l'ensemble (des critères d'exclusion en gros).
Merci en tout cas !
Je crois par contre un nombre premier $N=p_1p_2\cdots p_n$ (les nombres sont les chiffres de $N$) avec $p_i$ premiers existe pour tous $n$?
Cordialement.
Et merci pour la preuve qu'il existe au moins un élément non premier dans un ensemble remarquable de cardinal 5, c'était très clair.
Je vais vérifier la propriété dont vous parlez par rapport à $N$.
Merci beaucoup en tout cas, je vais essayer d'y réfléchir un peu plus méthodiquement.
Edit, pour $n\ge 4$ pas d'ensembles remarquables pour la même raison. Si l'ensemble contient deux $3$, $33$ n'est pas premier, sinon on a ou bien deux nombres $p,j\equiv 1,2 \pmod{3}$ respectivement et $pj$ est divisible par $3$ (contradiction), ou bien $3$ nombres $\equiv 1 \text{ ou } 2 \pmod{3}$, formant un nombre divisible par $3$.
Un ensemble remarquable de cardinal $3$ a le nombre $3$ et deux autres premiers de la forme $3k+1$ ou $3k+2$...
PS. l'ensemble remarquable à $n$ nombres premiers que j'ai consideré est formé de concaténations de n'importe quelle longueur ($k$ nombres choisies parmi $n$, $k=1\ldots n$)
Cordialement.
PR(1) = PR(2) = 2, PR(3) = 5. PR(19) = 19, PR(23) = 23 et alors $\forall n\leq 23$ on peut majorer PR(n).
Bonne nuit.
Cordialement.
Tu es encore de l'avis que $PR(2) = 2$ ?
Je vois pourquoi il ne doit pas y avoir beaucoup d'ensembles remarquables à partir de $n\geq 3$.
Merci.
l'ensemble 3,1, 19 me semble minimal pour n=3.
À voir.
Cordialement.