L'ensemble des valeurs 4xy-5x-y=n
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai la formule suivante : n = 4xy - 5x - y, avec (x, y) des entiers relatifs non nuls et n un entier naturel et avec la contrainte xy>0 donc x et y de même signe.
Est-ce que l'ensemble des valeurs n représente l'ensemble des entiers naturels ?
Autrement dit, est-ce que n peut prendre n'importe quelle valeur de l'ensemble des entiers naturels ?
Existe-t-il une méthode démontrant qu'il y a une infinité de valeurs qui ne peuvent pas être représentées par cette formule ?
Merci.
Cordialement,
François
[Edit ajout du texte en couleur.]
J'ai la formule suivante : n = 4xy - 5x - y, avec (x, y) des entiers relatifs non nuls et n un entier naturel et avec la contrainte xy>0 donc x et y de même signe.
Est-ce que l'ensemble des valeurs n représente l'ensemble des entiers naturels ?
Autrement dit, est-ce que n peut prendre n'importe quelle valeur de l'ensemble des entiers naturels ?
Existe-t-il une méthode démontrant qu'il y a une infinité de valeurs qui ne peuvent pas être représentées par cette formule ?
Merci.
Cordialement,
François
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Réponses
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Bonjour.
Déjà, $n = 4xy - 5x - y = 4x (y - 1) - x - y$.
Pour $x = 1$ et $y = 1$, on a $n = -2$ qui n'est pas un naturel.
Pour $x = -1$ et $y = -1$, on a $n = 10$.
Pour $x = -1$ et $y = 1$, on a $n = 0$.
Pour $x = 1$ et $y = -1$, on a $n = -8$ qui n'est pas non plus un naturel.
Comme $x$ et $y$ ne peuvent être nuls, je ne vois pas comment obtenir $n=1$.
À bientôt.
[Édit : Merci YvesM, finalement il suffit de fixer y à 1]Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Bonjour,
$x=1, y=2$ donnent $n=1.$ -
Bonjour,
Par contre, ça ne marche pas pour $n=2$.
Les $n$ pour lesquels ça marche sont ceux tels que $4n+5$ ait un diviseur congru à 3 modulo 4, et différent de $-1$. -
Effectivement, déjà avec y=1 on obtient tous les entiers relatifs (n=-x-1). Et comme n est entier...
Cordialement
NB : J'ai l'impression que je n'ai pas la même lecture du message initial que GBZM. -
Ah ! J'avais raté le "non nul". Avec y=1 on loupe -1.
-
Merci à tous
François -
Gerard0, $n$ ne doit être que naturel, donc cela va avec $y=1$ et $x$ négatif, je ne comprends pas comment je ne l'ai pas vu tout de suite.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Je dois préciser que j'ai la contrainte xy>0
Cela complique la solution.
Merci -
Merci GaBuZoMeu pour cette réponse, mais comment arrives-tu à cette conclusion ?
On doit donc avoir 4n+5=0[p] avec p=3 [4], p étant un entier naturel ?
Merci
François -
Il y a clairement des valeurs impossibles avec cette nouvelle contrainte.
À contrario, il est possible d'avoir des valeurs de $n$ normalement interdites tout en respectant les contraintes passée et présente, voir mon premier exemple à ce sujet.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Je me suis emmêlé les pinceaux, mais ma réponse vaut tout de même pour $x,y$ entiers $>0$.
Si on a une telle solution, alors $ y=\dfrac{5x+n}{4x-1}$, ce qui impose que $4x-1$ divise $5x+n$ (et alors le quotient $y$ est bien un entier $>0$).
La cns est donc qu'il existe $x$ entier $>0$ tel que $4x-1$ divise $5x+n$, ce qui équivaut à $4x-1$ divise $x+n+1$, ce qui équivaut à $4x-1$ divise $4x+4n+4$, ce qui équivaut à $4x-1$ divise $4n+5$.
Par ailleurs si $x,y$ sont entiers $<0$, alors $4xy-5x-y\geq 10$. Donc $n=2,3,5,6,8,9$ ne marchent pas.
Encore une chose.
Oublions pour le moment les contraintes de signe sur $x$ et $y$, on demande juste $x$ non nul.
Si $n=4xy-5x-y$, alors on doit toujours avoir que $4x-1$ divise $4n+5$. Si $4n+5$ est premier, ceci impose $x=-n-1$, et donc $y=1$. Or la condition $xy>0$ exclut cette possibilité. Finalement, d'après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, il y a une infinité de $n$ qui ne sont pas atteints.
Bon, beaucoup de détours pour arriver à la remarque que
$$4(4xy-5x-y)+ 5= (4x-1)(4y-5)\;.$$ -
Bravo, c'est brillant
On peut donc conclure qu'il existe bien une infinité de valeurs entières qui ne sont pas représentées par la formule.
Merci
François -
Comme l'a fait remarquer GaBuZoMeu, on doit avoir $4n+5=(4x-1)(4y-5)$ avec $x$ et $y$ dans $\N^*$ ou bien $4n+5=(4x'+1)(4y'+5)$ avec $x'$ et $y'$ dans $\N^*$.
$4n+5$ doit donc s'écrire comme le produit de deux entiers congrus à $3$ modulo $4$, ou bien comme produit de deux entiers congrus à $1$ modulo $4$ et supérieurs ou égaux à $5$ (avec au maximum un seul égal à $5$).
Cela interdit $4n+5=25$ ainsi que $4n+5=p$ avec $p$ premier.
Comme il y a une infinité de premiers congrus à $1$ modulo $4$, il y a une infinité de $n$ qui ne sont pas obtenus :
$n=5$ et les $n=\dfrac{p-5}4$ avec $p$ nombre premier congru à $1$ modulo $4$.
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Bonjour!
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