L'ensemble des valeurs 4xy-5x-y=n

Bonjour.

Déjà, $n = 4xy - 5x - y = 4x (y - 1) - x - y$.

Pour $x = 1$ et $y = 1$, on a $n = -2$ qui n'est pas un naturel.
Pour $x = -1$ et $y = -1$, on a $n = 10$.
Pour $x = -1$ et $y = 1$, on a $n = 0$.
Pour $x = 1$ et $y = -1$, on a $n = -8$ qui n'est pas non plus un naturel.

Comme $x$ et $y$ ne peuvent être nuls, je ne vois pas comment obtenir $n=1$.

À bientôt.

[Édit : Merci YvesM, finalement il suffit de fixer y à 1]

Bonjour,

Par contre, ça ne marche pas pour $n=2$.
Les $n$ pour lesquels ça marche sont ceux tels que $4n+5$ ait un diviseur congru à 3 modulo 4, et différent de $-1$.

Ah ! J'avais raté le "non nul". Avec y=1 on loupe -1.

Gerard0, $n$ ne doit être que naturel, donc cela va avec $y=1$ et $x$ négatif, je ne comprends pas comment je ne l'ai pas vu tout de suite.

À bientôt.

Je me suis emmêlé les pinceaux, mais ma réponse vaut tout de même pour $x,y$ entiers $>0$.
Si on a une telle solution, alors $ y=\dfrac{5x+n}{4x-1}$, ce qui impose que $4x-1$ divise $5x+n$ (et alors le quotient $y$ est bien un entier $>0$).
La cns est donc qu'il existe $x$ entier $>0$ tel que $4x-1$ divise $5x+n$, ce qui équivaut à $4x-1$ divise $x+n+1$, ce qui équivaut à $4x-1$ divise $4x+4n+4$, ce qui équivaut à $4x-1$ divise $4n+5$.

Par ailleurs si $x,y$ sont entiers $<0$, alors $4xy-5x-y\geq 10$. Donc $n=2,3,5,6,8,9$ ne marchent pas.

Encore une chose.
Oublions pour le moment les contraintes de signe sur $x$ et $y$, on demande juste $x$ non nul.
Si $n=4xy-5x-y$, alors on doit toujours avoir que $4x-1$ divise $4n+5$. Si $4n+5$ est premier, ceci impose $x=-n-1$, et donc $y=1$. Or la condition $xy>0$ exclut cette possibilité. Finalement, d'après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, il y a une infinité de $n$ qui ne sont pas atteints.

Bon, beaucoup de détours pour arriver à la remarque que
$$4(4xy-5x-y)+ 5= (4x-1)(4y-5)\;.$$

Comme l'a fait remarquer GaBuZoMeu, on doit avoir $4n+5=(4x-1)(4y-5)$ avec $x$ et $y$ dans $\N^*$ ou bien $4n+5=(4x'+1)(4y'+5)$ avec $x'$ et $y'$ dans $\N^*$.

$4n+5$ doit donc s'écrire comme le produit de deux entiers congrus à $3$ modulo $4$, ou bien comme produit de deux entiers congrus à $1$ modulo $4$ et supérieurs ou égaux à $5$ (avec au maximum un seul égal à $5$).

Cela interdit $4n+5=25$ ainsi que $4n+5=p$ avec $p$ premier.

Comme il y a une infinité de premiers congrus à $1$ modulo $4$, il y a une infinité de $n$ qui ne sont pas obtenus :
$n=5$ et les $n=\dfrac{p-5}4$ avec $p$ nombre premier congru à $1$ modulo $4$.