constante d'Euler

Sylvain · April 2006

Bonjour,

je conjecture ceci:

$$\gamma=H_n-ln(n)+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\zeta(-k)n^{-(k+1)}$$

pour tout naturel $n>0$

Merci de me dire ce que vous en pensez.

Sylvain

rémi · April 2006

C'est quoi $H_n$, une suite ultra connue ou tu dis qu'il existe une suite telle que ... ??

matheuh · April 2006

la fonction gamma d'Euler en 0 me choque un peu sachant qu'elle est définie pour tout complexe de partie réelle >1

matheuh · April 2006

Hn est la serie harmonique 1+1/2+1/3+...+1/n

bisam · April 2006

matheuh, tu as mal lu : c'est la fonction $\zeta$ (zeta) et pas la fonction $\Gamma$.

Ceci étant, la formule me paraît louche à moi aussi.

ryo0 · April 2006

$\zeta$ s'annule pour les entiers negatifs pairs non?(c'est pas les zeros "triviaux"?).
Du coup on a pas vraiment besoin de l'alternance des signes puisque les $(-1)^k$ vont etre multiplie par zero

Je reecrirais donc ta somme en : $\frac{\zeta(0)}{n}-\sum_{k=0}^{\infty}\zeta(-2k-1)n^{-(2k+2)}$

matheuh · April 2006

Je confirme avoir bien lu ;-)

On parle tous bien de la fonction ZETA de Riemann (même si je me suis trompé de nom)

Et je reconfirme qu'elle est définie pour tout complexe de partie réelle >1

ryo0 · April 2006

matheuh elle est definie par $$\zeta(s)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$ pour $Re(s)>1$ mais on peut la prolonger en une fonction meromorphe sur $\C$ tout entier avec un pole en $s=1$ de residu $1$.

Donc quand on ecrit $\zeta(-8.5)$ par exemple le $\zeta$ n'est pas defini de la meme maniere que pour $\zeta(3)$

Sylvain · April 2006

@bisam: qu'est-ce qui te parait louche ?

@ryo: si tu veux...

Sylvain · April 2006

Un pas de plus:
Le fait que l'expression dans le membre de droite dans ma formule semble avoir la même valeur pour tout naturel non nul incite à penser qu'il s'agit de la fonction constante égale à $\gamma$.

Comme $H_n=\Psi(n+1)+\gamma$, on aurait alors:

$$ln(x)=\Psi(x+1)+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\zeta(-k)x^{-(k+1)}$$

Des expérimentations sur Maple semblent montrer que cette égalité est vraie pour tout réel $x>1$.

Si quelqu'un parmi vous pouvait la démontrer, ce serait vraiment très sympa.

Sylvain

jean Lismonde0 · April 2006

bonsoir

les Z(-k) sont nuls si k est pair (zéros triviaux de la fonction Zéta)

sinon les Z(1-2k) s'expriment facilement avec les nombres de Bernoulli

je ne connais pas l'équation conjecturée par Sylvain

par contre je peux donner une identité qui permet éventuellement d'y accéder par dérivation terme à terme (après passage aux logarithmes)

rac(pi).Gamma(1+x/2)/Gamma(1/2+x/2)=(1+x)(1+x/3)...../(1+x/2)(1+x/4)....

et on obtient pour x=2n:

lnGamma(1+n)-lnGamma(1/2+n)-(lnn)/2=(1/2n)Za(-1)+(1/3)(1/2n)^3.Za(-3)+(1/5)(1/2n)^5.Za(-5)+......

on connaît la relation (valable pour x différent de 1)

Z(x)=Za(x)/[1-2^(1-x)] avec Za fonction Zéta alternée

cette relation avec les Za(1-2k) est utilisée pour améliorer l'approximation de Stirling de n!

cordialement

Guego0 · April 2006

Le développement asymptotique de $H_n$ à tout ordre est obtenu facilement avec la formule d'Euler-MacLaurin (c'est d'ailleurs comme ça qu'Euler a calculé une dizaine de décimales de $\gamma$). Et il fait effectivement intervenir les nombres de Bernoulli.
Après, il reste à voir si l'expression obtenue en exprimant les $\zeta$ avec les nombres de Bernoulli dans l'expression de Sylvain coïncide avec le développement d'Euler-MacLaurin...

Sylvain · April 2006

Pour Guego: on a $\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}$ si $n$ est un naturel non nul.

Sylvain

Guego0 · April 2006

Bon, ben ça a l'air d'être ça alors : <a href=" http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf"> http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf</a> 
 [lien corrigé. AD]

Sylvain · April 2006

Guego: merci pour ton lien.

Pourquoi a-t'on un "zigouigoui" au lieu d'un signe "=" ?

Autrement dit-on mon égalité est vraie oui ou non ?

Guego0 · April 2006

Parce que (comme indiqué 2 lignes en dessous de l'égalité), les $B_{2k}$ tendent très vite vers l'infini, et donc la série est divergente : écrire sa somme n'a pas de sens. Mais si on l'arrête à un rang fixé $N$, cela donne quand même un développement asymptotique de $H_n$ à $N$ termes.

Guego0 · April 2006

D'ailleurs, je constate que sans le http:// devant mon lien, ça renvoie sur une page qui n'existe pas. Donc si un modérateur passe par là... merci

Sylvain · April 2006

Et on ne peut pas trouver un espace dans lequel cette foutue série converge vers $\gamma+ln(n)-H_n$ (comme 1+2+...+2^k+... converge vers -1 dans Z_2) ?

Sylvain