Séries inverses dénumérants
Bonjour,
Soit $n \in \N$ et $D_n$ le nombre de solutions dans $\N^2$ de l'équation diophantienne $x+2y = n$.
Je considère, juste pour le plaisir, $$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}.$$ Montrer que la constante $D$ est {\bf transcendante}.
Bravo {\bf Borde} pour ton livre : clarté, rigueur, et invitation au voyage...
La notion de dénumérant est clairement exposée au chapitre 2.
Anselme-Olivier.
PS: Merci pour le clin d'œil sur {\bf Fermat}...
Soit $n \in \N$ et $D_n$ le nombre de solutions dans $\N^2$ de l'équation diophantienne $x+2y = n$.
Je considère, juste pour le plaisir, $$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}.$$ Montrer que la constante $D$ est {\bf transcendante}.
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La notion de dénumérant est clairement exposée au chapitre 2.
Anselme-Olivier.
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Réponses
Quant à ton exercice, peut-être la fomule de Popoviciu (exercice 2.10 page 39) peut-elle servir ?
Borde.
A +
Borde.
L'équation diophantienne à considérer est plutôt dans ${\bf \N^3}$, $x+2y +3z= n$ (p.35)
(Sinon, il n'y avait pas convergence.)
Mais pour la transcendance...Peut-être un développement en fraction continuées ?
Borde.
je lis le livre de Borde avec beaucoup d'intérêt, et puisqu'il est question de "dénumérant" et découvrant la notion, y-a-t-il une raison à imposer pgcd(a1,..an)=1 pour l'équation dans N^n a1.x1+...an.n = p, la méthode "à la Euler" pour dénombrer les solutions ne semble pas s'en soucier, d'où mon interrogation, modulo je dis une bêtise
pardon de ne pas suivre le fil initial, je profite simplement de l'opportunité pour poser la question
aimablement,
S
D(n) = (2k+3+(-1)^k)/4
enrichi au sens noble du terme,
S
Tu peux toujours te ramener au cas $\gcd(a_1,...,a_n) = 1$, au besoin en simplifiant par ce pgcd, ce qui fournit, bien sûr, une condition nécessaire d'existence de solutions de telles équations.
En fait, l'analyse complexe va extraire un équivalent du dénumérant de sa série génératrice que tu peux trouver page 36, mais le théorème utilisé nécessite l'hypothèse $\gcd(a_1,...,a_n) = 1$. Cela n'est toutefois pas vraiment contraignant, comme on vient de le voir. J'ai hésité à pousser aussi loin l'étude des dénumérants dans ce livre, dont ce n'était pas l'objet. Pour ceux qui sont intéressés sur ce sujet, je recommande :
1. Le livre de Comtet, réédité (ou en passe de l'être) actuellement, sur l'analyse combinatoire. RAJ confirmera la réédition prochaine de ce livre.
2. Les ouvrages téléchargeables d'Hebert Wilf (comme par exemple {\it Generatingfunctionology}) : il suffit d'aller sur son site.
Borde.
On démontre (par exemple cf. Borde p. 36) que $\displaystyle D_{n} = \left \lfloor \frac {(n+3)^2}{12} \right \rceil$ et donc $\displaystyle D_{2n+1} = \left \lfloor \frac {(n+2)^2}{3} \right \rceil.$
On a
$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{\left \lfloor \frac {(n+2)^2}{3} \right \rceil}=\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil}$
mais
$\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil = 3p^2$ si $n=3p$
$\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil = p(3p+2)$ si $n=3p+1$
$\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil = (p+1)(3p+4)$ si $n=3p+2$
$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil}= 1 + \displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \left( \displaystyle \frac{1}{3p^2} + \displaystyle \frac{1}{ p(3p+2)} + \displaystyle \frac{1}{ (p+1)(3p+1)} \right)$
maintenant
$\left(\displaystyle \frac{1}{ p(3p+2)} + \displaystyle \frac{1}{ (p+1)(3p+1)} \right) = \displaystyle \frac{1}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{p} - \displaystyle \frac{1}{p+1} \right)+ \displaystyle \frac{3}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{3p+1} - \displaystyle \frac{1}{3p+2} \right)$
et classiquement
$\displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle \frac{1}{p} - \displaystyle \frac{1}{p+1} \right) = \displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \displaystyle \frac{3}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{3p+1} - \displaystyle \frac{1}{3p+2} \right)= \displaystyle \frac{3}{2} \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{t^3}{t^2+t+1} dt = - \frac{3}{4} + \frac{\pi \sqrt{3}}{6} $
$\displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{3p^2} = \displaystyle \frac{\pi^2}{18}$
d’où
$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}=\displaystyle {\frac{3}{4} + \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\pi^2}{18} }$
$D$ est transcendant comme $\pi$, puisque $\sqrt{3}$ est algébrique.
Anselme-Olivier.
pour Borde merci pour la précision, j'ai squizzé l'étape k=2 (renvoyé en exo) où l'on a besoin de pgcd(a,b)=1, donc pour résumé on a besoin de l'hypothèse ai premier entre eux pour la majoration de D(An) mais pas pour le calcul via la méthode par les fonctions génératrices
pour Anselme-Olivier, je suis bluffé par le calcul de la somme qui se ramène à une intégrale
aimablement
S
Pour Olivier : Bravo, deux fois bravo ! si tu ne l'as pas encore fait, il est temps d'écrire quelques articles, non ?
Borde.
il va falloir que je me mette sérieusement au boulot !
Allez ! Anselme-Olivier!
Cordialement.
Borde.
Sinon Borde, peux-tu préciser le critère de Lambert que tu évoquais plus haut ?
Anselme-Olivier.
(l'avais fait exprès) ;-)
Soit $\displaystyle {x = \frac {a_1}{b_1 + \frac {a_2}{b_2 + ...}} = \K_{n=1}^{\infty} \frac {a_n}{b_n}}$ une fraction continuée (généralisée) avec $a_n, b_n \in \Z^{*}$ tels que, pour $n$ assez grand, on ait $|a_n| < |b_n| - 1$. Alors $x \not \in \Q$.
Borde.
Merci.
La série proposée au début du fil s'en déduit.
Anselme-Olivier.
Cordialement Yalcin
Borde.
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Soit $n \in \mathbb{N}$ et $D_n$ le nombre de solutions dans $\mathbb{N}^3$ de l'équation diophantienne $x+2y +3z= n$.
Je considère, juste pour le plaisir,
$\displaystyle \displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}.$
Montrer que la constante $ D$ est transcendante.
Bravo Borde pour ton livre : clarté, rigueur, et invitation au voyage...
La notion de dénumérant est clairement exposée au chapitre 2.
Anselme-Olivier.
PS: Merci pour le clin d'œil sur Fermat...
[Modifié selon tes indications. md.]