Séries inverses dénumérants

Non, la formule de Popoviciu n'est pas nécessaire...

Pour $ n \in \mathbb{N}$, $ D_n$ est donc le nombre de solutions dans $ \mathbb{N}^2$ de l'équation diophantienne $ x+2y +3z= n$.
On démontre (par exemple cf. Borde p. 36) que $\displaystyle D_{n} = \left \lfloor \frac {(n+3)^2}{12} \right \rceil$ et donc $\displaystyle D_{2n+1} = \left \lfloor \frac {(n+2)^2}{3} \right \rceil.$
On a
$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{\left \lfloor \frac {(n+2)^2}{3} \right \rceil}=\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil}$
mais
$\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil = 3p^2$ si $n=3p$
$\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil = p(3p+2)$ si $n=3p+1$
$\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil = (p+1)(3p+4)$ si $n=3p+2$
$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{\left \lfloor \frac {n^2}{3} \right \rceil}= 1 + \displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \left( \displaystyle \frac{1}{3p^2} + \displaystyle \frac{1}{ p(3p+2)} + \displaystyle \frac{1}{ (p+1)(3p+1)} \right)$
maintenant
$\left(\displaystyle \frac{1}{ p(3p+2)} + \displaystyle \frac{1}{ (p+1)(3p+1)} \right) = \displaystyle \frac{1}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{p} - \displaystyle \frac{1}{p+1} \right)+ \displaystyle \frac{3}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{3p+1} - \displaystyle \frac{1}{3p+2} \right)$
et classiquement
$\displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{2}\left( \displaystyle \frac{1}{p} - \displaystyle \frac{1}{p+1} \right) = \displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \displaystyle \frac{3}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{3p+1} - \displaystyle \frac{1}{3p+2} \right)= \displaystyle \frac{3}{2} \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{t^3}{t^2+t+1} dt = - \frac{3}{4} + \frac{\pi \sqrt{3}}{6} $
$\displaystyle \sum_{p=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{3p^2} = \displaystyle \frac{\pi^2}{18}$
d’où
$\displaystyle D = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{2n+1}}=\displaystyle {\frac{3}{4} + \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\pi^2}{18} }$
$D$ est transcendant comme $\pi$, puisque $\sqrt{3}$ est algébrique.

Anselme-Olivier.

Avec le même type de techniques, on démontre que :$$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{1}{D_{n}}=\displaystyle {\frac{135}{36} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\pi^2}{18} }+\frac{\pi \sqrt{3}}{3}\tan \left( \frac{\pi \sqrt{3}}{6} \right)$$ ou encore $$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle \frac{(-1)^n}{D_{n}}=\displaystyle {\frac{9}{4} - \frac{\pi \sqrt{3}}{2} + \frac{\pi^2}{18} }+\frac{\pi \sqrt{3}}{3}\tan \left( \frac{\pi \sqrt{3}}{6} \right)$$ la nature arithmétique de ces deux séries est ici moins connue, même s'il est naturel de penser qu'il s'agit là de nombres transcendants.
La série proposée au début du fil s'en déduit.

Anselme-Olivier.