Equation diophantienne

Soit $(x,y)$ un couple solution éventuel. On aurait alors $y^2 \equiv x^3 - 1 \pmod 4$, et comme les seuls carrés modulo $4$ sont $0$ et $1$, on aurait $x^3 \equiv 1,2 \pmod 4$, puis $x \equiv 1 \pmod 4$. Utilise ensuite le fait que $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$, et comme $x \equiv 1 \pmod 4$, on aurait $x^2 - 2x + 4 \equiv 3 \pmod 4$. Ainsi, il existerait un nombre premier $p \equiv 3 \pmod 4$ qui diviserait $y^2 + 1$. On aurait donc $y^2 \equiv - 1 \pmod p$, autrement dit $-1$ serait résidu quadratique modulo $p$, ce qui est impossible, puisque $p \equiv 3 \pmod 4$.

Pour info, voir aussi dans mon livre l'exercice 3.36 page 59.

Borde (correction latex. Doublon à supprimer. Merci).

Bonjour Borde,

On devrait toujours relire et vérifier.
Tu a raison je me suis planté.

Cordialement

TV

bonjour borde
je te dois une réponse (sur un autre fil ) mais j'ai une chose à vérifier auparavant.

concernant l'équation proposée par cédric, qques questions supplémentaires.
au cas où? ..pour la leçon équations diophantiennes, je pensais inclure un sous-paragraphe équations de Mordell :
y^2=x^3 + k , k dans Z
mais je dois l'étoffer

1) pour k=7,proposée par cédric, un de tes confrères la resout en précisant que cette équation a été etudiée par Lebesgue (même méthode)
puis cet exercice comporte un deuxième volet: résoudre
y^2=x^3 + 7z , tjs dans Z
et là, il ya une infinité de solutions
ce serait un développement(comprenant les 2 parties)

2) pour k=-1
il y a une unique solution, x=1,y=0
résolution en travaillant dans l'anneau factoriel Z[ i]

3) pour k=-4, j'ai lu que les solutions sont :
x=5, y=+-11
x=2, y=+-2
j'ai des difficultés pour résoudre ce cas,peux-tu me mettre sur la voie, merci

4) connais-tu d'autres cas de k ? ou des références ? remerci pour tout

merci Richard

{\bf Salut RAJ},

L'équation que tu as mise ici, je l'ai aussi mise dans mon bouquin (voir mon premier post plus haut. Page 59 du livre) !!

{\bf Pour bs, et en complément de fb} : il faut distinguer, à mon avis, plusieurs types d'équations diophantiennes :

(i) Celles qui se résolvent de manière "élémentaire" (attention à ce vocable !) : une référence = le livre de De Koninck et Mercier (1001 problèmes de théorie classique des nombres) chez Ellipses, ou, bien sûr, le livre d'exercices de Sierpinski. Ces équations se résolvent en général sans artifice technique, mais demandent beaucoup d'astuces.

(ii) Celles qui nécessitent l'artillerie lourde : les courbes elliptiques (une autre référence que le Silverman et Tate : le livre de Cohen, {\it A course in computational algebraic number theory}, chez Springer), les équations de Bachet du type $x^2 + k = y^3$ (je crois que j'avais fait ici-même le cas $k=5$), etc. Ses courbes sont délicates, en ce sens qu'il faut quand même utiliser et/ou avoir des connaissances de base en théorie algébrique.

En cherchant sur le net sur les journaux electronique, comme par exemple celui-ci \lien {http://www.integers-ejcnt.org}, tu peux parfois tomber sur des gens qui résolvent des équations diophantiennes de façon, disons, abordable.

Borde.

Désolé Borde pour le doublon. Mais quand j'ai regardé le livre de Baker, je n'avais pas le tien sous la main.

J'ai le livre de Silverman et Tate sous la main à présent, et je vois que finalement ce n'est pas la meilleure référence pour des résolutions d'équations diophantiennes "à la main". Le point de vue de ce livre est celui des courbes elliptiques, qui est l'outil naturel pour étudier l'équation de Bachet $y^2 = x^3 + k$... A titre culturel on peut toujours citer le théorème d'Axel Thue (1908) disant que pour $k$ non nul fixé, il n'existe qu'un nombre fini de solutions entières pour l'équation précédente. Cependant je recommande le magnifique livre de Silverman et Tate pour qui s'intéresse aux courbes elliptiques et souhaite une introduction terre à terre...