premiers jumeaux

Le second point de cette architecture, qui implique cette conjecture, est certainement le point délicat de cette approche. Celle-ci n'est qu'en fait un point de vue heuristique qui tend à confirmer l'infinitude des nombres premiers jumeaux. Cette heuristique a déjà été proposée par Hardy et Littlewood au début du 20è siècle, en donnant également un équivalent heuristisque pour $\pi_2(x)$, le nombre de nombres premiers jumeaux $\leqslant x$.

Depuis 1918 avec Viggo Brun, on a "une moitié" du boulot déjà effectué : ce mathématicien a élaboré une méthode, fondée sur ce crible d'Eratosthène (mais bien plus compliqué), pour démontrer que $\displaystyle {\pi_2(x) \ll \frac {x \ln \ln x}{(\ln x)^2}}$, ce qui implique, par sommation partielle, la {\it convergence} de la série $\displaystyle {\sum_{p, \, p+2 \, premiers} 1/p}$. Rappelons que $f \ll g$ signifie $f = O(g)$.

Ce qu'il faudrait maintenant, c'est une {\bf minoration} de $\pi_2(x)$, du genre $\displaystyle {\pi_2(x) \gg \frac {x}{(\ln x)^2}}$, ce qui impliquerait l'infinitude de ces nombres premiers jumeaux, et donnerait par la même occasion l'ordre de grandeur de leur fonction de compte.

Malheureusement, cette partie du travail semble encore inaccessible avec les moyens techniques actuels.

Borde (corrections faites. Doublon à supprimer. Merci).

Bonjour, didier,
j'applaudis au passage la salubrité intellectuelle de ton propos, qui consiste à douter d'un raisonnement trop simple pour être exact. Certains démonstrateurs miraculeux des théorèmes de Fermat, Riemann et Goldbach feraient bien de faire preuve de la même modestie. Bien sûr, je ne vise personne mais tout le monde l'aura reconnu.

j_j

La constante de Brun $B_2$ est très difficile à calculer, même avec de bons gros ordinateurs bien puissants...On a des doutes à partir de la 10è décimale. Quant à démontrer que $B_2 \not \in \Q$, on en est (très) loin...

Borde.

Je copie le post de Didier qu'il avait mis sur un autre fil :

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bonjour

merci à ceux qui ont répondu à mon premier texte (dont ceux à qui je n'ai pas pu répondre parce que j'ai mal archivé leur mail).

je souhaite préciser ma requête: qu'on m'explique (et avec des mots simples et sans latex en plus, je sais, je suis difficile, mais j'ai arrêté la gymnastique mathématique il y a longtemps) où est l'erreur dans le déroulement de l'examen de la conjecture des nombres premiers jumeaux que j'ai fait.

pour le permettre, je précise un peu:

appelons CE.3 (CE pour Crible d'Eratosthène) la suite des nombres, supérieurs à 3, sélectionnés par le crible d'Eratosthène lorsque 3 a éliminé ses multiples mais que 5, 7,... ne l'ont pas fait; CE.5 la suite des nombres, supérieurs à 5, sélectionnés lorsque 3 et 5 ont éliminé leurs multiples, mais pas 7,11,..., et ainsi de suite pour CE.7, CE.11,...,CE.P(n) (où P(n) est le n-ième nombre premier).

CE.3 est: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,etc...
CE.5 est: 7,11,13,17,19,23,29,31,37,etc...
CE.7 est: 11,13,17,etc...

représentés graphiquement (tous les nombres impairs représentés, "I" pour un nombre sélectionné, "." pour un nombre éliminé), celà devient:

CE.3: II.II.II.II.II.II.II.etc...
CE.5: I.II.II.I..II..I.II.II.I..II..I.II.II.I.etc...

où l'on constate une structure modulaire répétée à l'infini:

CE.3: (II.)(II.)(II.)etc...
CE.5: (I.II.II.I..II..)(I.II.II.I..II..)(I.II.II.I..II..)etc..

Cette structure modulaire existe pour tout CE.P(n) (facilement démontrable).La longueur d'un module de CE.P(n) (c.à.d. le nombre ne nombres impairs contenus dans un module) est:
P(n)xP(n-1)xP(n-2)x...7x5x3 (facilement montrable)

Chaque module contient des jumeaux (les "II" de la représentation graphique), qui peuvent être "vrais" si les deux nombres sont premiers, "faux" si l'un ou les deux nombres ne sont pas premiers. Le nombre de jumeaux dans chaque module est:
(P(n)-2)x(P(n-1)-2)x(P(n-2)-2)x...x9x5x3 (9 pour 11-2, 5 pour 7-2, 3 pour 5-2, je n'ai pas mis ...x1 pour 3-2) (facilement montrable)

J'en tire les affirmations suivantes:

1):quel que soit P(n), il existe à l'état CE.P(n) une infinité de jumeaux (vrais ou faux) supérieurs à Pn, puisqu'il existe une infinité de modules contenant un nombre non nul de jumeaux.

2):lorsque P(n) tend vers l'infini, cette infinité de jumeaux tend à ne plus représenter que des "vrais" jumeaux, parce que tous les nombres non premiers tendent à avoir été éliminés, de même que lorsqu'on tend à avoir retiré tous les cailloux des lentilles, on tend à n'avoir plus que des lentilles.

La conjecture semble alors démontrée.

ou bien:

lorsque P(n) tend vers l'infini, le premier module comprenant les nombres supérieurs à P(n) tend vers une longueur infinie, il tend à contenir une infinité de jumeaux, qui tendent à n'être que des vrais jumeaux.

là aussi, la conjecture semble démontrée.

Alors, où est l'erreur?

merci à celui qui aura la patience d'examiner ce texte et de me donner la réponse.

Didier kolmer

Oui, Didier tombe sur la difficulté à parler de "ce qui se passe à l'infini". Pour traiter proprement le problème, on est obligé de regarder ce qui se passe quand on a éliminé par crible avec un certain nombre de premiers "du début". Il reste encore des "jumeaux", en nombre infini, mais il reste aussi des premiers, eux aussi en nombre infini, et rien ne nous permet d'affirmer qu'ils ne vont pas "détruire" les couples de jumeaux en en faisant des "jumeaux faux". Il reste aussi, contrairement à ce que dit Didier, des non premiers, eux aussi en nombre infini (Une fois qu'on a retiré une infinité de nombre à l'ensemble des entiers, il eprut rester rien quelques entiers, ou même une infinté d'entiers).

Autre faiblesse de la preuve (à mon sens) : Il n'est pas évident qu'il y aura toujours des "jumeaux vrais ou faux" dans CE.n.

Il faudrait mieux démontrer la conjeture de Goldbach, car ça contient toute la vérité des nombres premiers (et si tu veux devenir millionnaire pense à l'hypothèse de Riemann)