ppcm(1,...,n)

Salut Pilz,

Notons $d_n$ ton ppcm, $\Lambda(n)$ la fonction de Von Mangoldt (qui vaut $\ln p$ si $n = p^r$ pour un certain entier $r \geqslant 1$ et $0$ sinon), et $\displaystyle {\psi(x) = \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)}$ la seconde fonction de Tchebichef. On montre que $\psi(n) = \ln (d_n)$, donc le problème revient à majorer $\psi(n)$.

Ce problème a été résolu au milieu du 19è siècle par Tchebichef. Il a donné naissance à ce que l'on appelle maintenant les {\it inégalités de Tchebichef}.

Sa méthode repose sur le principe du produit de convolution de Dirichlet (cf mon bouquin). On peut vérifier que : $$\sum_{n \leqslant x} \ln n = \sum_{d \leqslant x} \psi(d) \left [ \frac {x}{d} \right ],$$ d'où $$x \ln x - x + 1 \leqslant \sum_{d \leqslant x} \psi(d) \left [ \frac {x}{d} \right ] \leqslant x \ln x - x + 1 + \ln x.$$ Maintenant, imagine que tu as à ta disposition une fonction $f$ qui vérifie $f(t) = 1$ pour tout réel $t \in [1,6[$, disons. Alors tu écrirais que : $$\sum_{n \leqslant x} \Lambda(n) f(x/n) \geqslant \sum_{x/6 < n \leqslant x} \Lambda(n) = \psi(x) - \psi(x/6).$$ Tchebichef a trouvé une telle fonction : il suffit de prendre $$f(t) = [t] - \left [ \frac {t}{2} \right ] - \left [ \frac {t}{3} \right ] - \left [ \frac {t}{5} \right ] + \left [ \frac {t}{30} \right ].$$ En utilisant cette fonction et l'encadrement ci-dessus, tu obtiens que : $$\psi(x) - \psi(x/6) \leqslant x \ln (2^{7/15} 3^{3/10} 5^{1/6}) + 1 - \ln 30 + 2 \ln x,$$ puis, en remplaçant $x$ par $x/6$, $x/6^2$, ...,$x/6^{k-1}$ avec $k = [\ln x / \ln 6]$ et en additionnant tout, tu obtiens : $$\psi(x) \leqslant x \left ( \frac {6}{5} \ln (2^{7/15} 3^{3/10} 5^{1/6}) \right ) + O \left ( (\ln x)^2 \right ) < 1,115 x$$ pour $x \geqslant 3531$.

Voilà !

Borde.

c'est vraiment très joli !! merci Borde, je vais lire cela en détail.

Si j'ai bonne mémoire, c'est traité dans le Gourdon analyse, dans une question préliminaire d'un exercice sur une série dont le terme général comporte un ppcm.

Alekk : exact, $e$ est ta limite cherchée...

Pilz : exact, la formule asymptotique de l'ordre moyen de $\tau$ est globalement bonne, l'exposant du terme d'erreur pouvant être amélioré par des moyens utilisant une très grande sophistication. Pour en rajouter là-dessus, rappelle-toi que {\it l'ordre normal} de $\tau$ (c'est-à-dire en gros la valeur de $\tau(n)$ lorsque $n$ appartient à un ensemble de densité $1$) vaut $(\ln n)^{\ln 2}$, qui est donc assez loin de son ordre moyen (qui vaut donc $\ln n + 2 \gamma - 1$).

Nicolas : je ne connais pas de preuve par récurrence de $d_n \leqslant 3^n$. Si tu y arrives, postes-la ici, cela m'intéresse.

En revanche, et c'est fait dans beaucoup de livres, la récurrence se prête bien à la démonstration de l'inégalité $$\prod_{p \leqslant n} p \leqslant 4^n$$ (où le cas délicat est justement le cas $n$ impair).

Borde.

Pour compléter cet intéressant sujet (ce qui est souvent le cas lorsqu'il s'agit d'un sujet de Pilz...), la meilleure majoration explicite actuelle de $\psi$ que je connaisse est due à Rosser et Schoenfeld, qui ont démontré, en 1962, que, pour tout réel $x > 0$, on a $\psi(x) < 1,03883 \, x$ (maximum de $\psi(x)/x$ atteint en $x=113$), ce qui fournit une majoration de $d_n$ en $d_n < 2,826^n$. Bien évidemment, le résultat de Rosser et Schoenfeld est hautement non élémentaire, car il repose sur la connaissance effective de zéros de la fonction $\zeta$ sur la droite critique.

Borde.

Hier soir, j'ai donc cherché par récurrence.
Et effectivement, en regardant des problèmes similaires, je suis tombé sur l'inégalité d'Erdös dont la preuve utilise une astuce erdösniene pour majorer par un coefficient binomial.
La seule chose d'intéressante que j'ai remarqué est que dans le cas où n est composé, on arrive à conclure de manière plus ou moins facile par récurrence.
Mais lorsque n est premier, c'est une toute affaire. Et j'ai l'impression qu'on en revient d'une manière ou d'une autre aux estimations de Tchebichef.

Pilz> Apres vérification, il s'agissait bien de la minoration dans le Gourdon, je me rappelle avoir travailler sur l'exo en question l'an dernier pour l'agreg, désolé ma mêmoire est un peu défaillante. Sinon, ton développement sur le développement asymptotique de la fonction sommatoire de tau me semble très bien (car je l'avais aussi bosser l'an dernier, lol). Pour ma part, j'aime beaucoup le développement sur la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux est égale à $1/ \zeta (2)$ (que tu peux trouver dans x-ens analyse 1 ou 2 par exemple)
Par ailleurs, après quelques recherches, ce matin, je viens de tomber sur une démonstration de $ppcm(1,...,n)

Hier soir, j'ai donc cherché par récurrence.
Et effectivement, en regardant des problèmes similaires, je suis tombé sur l'inégalité d'Erdös dont la preuve utilise une astuce erdösniene pour majorer par un coefficient binomial.
La seule chose d'intéressante que j'ai remarqué est que dans le cas où n est composé, on arrive à conclure de manière plus ou moins facile par récurrence.
Mais lorsque n est premier, c'est une toute affaire. Et j'ai l'impression qu'on en revient d'une manière ou d'une autre aux estimations de Tchebichef.

Pilz> Apres vérification, il s'agissait bien de la minoration dans le Gourdon, je me rappelle avoir travailler sur l'exo en question l'an dernier pour l'agreg, désolé ma mêmoire est un peu défaillante. Sinon, ton développement sur le développement asymptotique de la fonction sommatoire de tau me semble très bien (car je l'avais aussi bosser l'an dernier, lol). Pour ma part, j'aime beaucoup le développement sur la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux est égale à $1/ \zeta (2)$ (que tu peux trouver dans x-ens analyse 1 ou 2 par exemple)
Par ailleurs, après quelques recherches, ce matin, je viens de tomber sur une démonstration de $ppcm(1,...,n)

"je rejoins Alekk c'est vrai que la théorie des nombres c'est vraiment beau."

surtout quand c'est Borde qui nous explique ^^

...SUIS-JE BETE ? Bien sûr que l'on connaît $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {\psi(x)}{x}}$ !! C'est le TNP, évidemment (là, je viens de me mettre une gifle) : Lorsque $x \rightarrow \infty}, on a $$\psi(x) \sim x.$$

A noter que le meilleur terme d'erreur actuel est toujours celui de 1958 de Vinogradov et Korobov.

Borde.

Borde> As-tu déjà feuilleté le livre de Kowalski, "un cours de théorie analytiques des nombres"?
Si oui, qu'est ce que tu en penses?

...Si tu aimes bien Kowalski (et que tu arrives à lire l'anglais), je te suggérerais plutôt celui-ci, écrit avec un autre grand spécialiste : Iwaniec <a href=" http://www.ams.org/bookstore-getitem/isbn=0-8218-3633-1"&gt; http://www.ams.org/bookstore-getitem/isbn=0-8218-3633-1</a&gt;
<BR>
<BR>Borde.<BR><BR>[Corrigé selon ton indication. AD]

Marrant : ce sujet reprend une partie de mon chap. 3 !

Cette idée est due à Mohan Nair en 1982, qui a retrouvé alors un argument diophantien remontant à Gelfond et Schnirelmann. Résumons-nous. Si l'on pose $d_n = ppcm(1,2,...,n)$, alors :

1. Ecrire $d_n = e^{\psi(n)}$.

2. Si $P(x)$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $\leqslant n - 1$, alors : $$d_n \times \int_{0}^{1} P(x) \, dx \in \Z$.

3. Le plus petit entier non nul étant $1$, si l'intégrale ci-dessus est $> 0$, alors on en déduit que : $$\psi(n) \geqslant \ln \left \{ \frac {1}{\int_{0}^{1} P(x) \, dx} \right \}.$$

Il n'y a plus qu'à choisir un bon polynôme qui minimise cette intégrale. Le choix de Nair s'est porté sur un polynôme du genre $x^k(1-x)^k$ qui fournit $$\liminf_{x \rightarrow \infty} \frac {\psi(x)}{x} \geqslant \ln2.$$ Il y a d'autres polynômes donnant une meilleure minoration, mais il a été prouvé que les polynômes entiers d'une variables positifs dans $[0,1]$ ne peuvent atteindre la borne $$\liminf_{x \rightarrow \infty} \frac {\psi(x)}{x} > 0,9.$$

Borde.

Borde, je ne suis pas spécialement fan de Kowalski, mais plutôt de théorie analytique des nombres. J'ai vu que tu parles du livre de Davenport dans ton livre, il m'a l'air plus approprié à ce que je cherche. J'ai commencé à m'intéresser au sujet, il y a moins d'un an. En fait ça a commencé quand j'ai cherché des développements pour l'agreg, j'aimais beaucoup les résultats sur les séries avec des fonctions arithmétiques. Et depuis, pendant mon temps libre, j'approfondie un peu le sujet.
Nicolas.

Bonjour Nicolas,\\
\\
Le livre de Davenport est effectivement une référence à connaître, l'auteur était spécialiste parmi les spécialistes, mais il faut savoir deux-trois choses dessus :

1. Son propos est essentiellement la démonstration de tous les résultats sur les nombres premiers en progressions arithmétiques, à savoir :

(i) {\bf Le TNPPA}, encore appelé {\it théorème de Dirichlet}, version originale (avec la formule du nombre de classes pour les corps quadratiques) et version analyse complexe,

(ii) {\bf Le théorème de Siegel-Walfisz}, qui est le prolongement du précédent, à savoir la formule asymptotique $$\pi(x\, ; \, q, a) = \frac {x}{\varphi(q) \ln x} + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^A} \right )$$ pour tout $A > 0$, où, comme d'habitude, $\pi(x \, ; \, q,a)$ désigne le nombre de nombres premiers $p \leqslant x$ tels que $p \equiv a \pmod q$ (avec $1 \leqslant a \leqslant q$ premiers entre eux) et $\varphi(q)$ est l'indicateur d'Euler,

(iii) {\bf Le problème compliqué de l'éventuel "zéro de Siegel"}, qui rend ineffectif le résultat ci-dessus dès que $A \geqslant 2$.

Ces points, de niveau M2 (DEA) ou plus, nécessitent un certain nombre d'outils issus de l'analyse complexe, et l'auteur établit en particulier les équations fonctionnelles des fonctions $L$ associées aux caractères {\bf primitifs} de Dirichlet. Il y a toujours la dualité nombres premiers $\leftrightarrow$ nombres premiers en progressions arithmétiques, avec en particulier les preuves des formules explicites de $\psi(x)$ et de $\psi(x \, ; \, q,a)$, cette dernière fonction étant le pendant de la première pour les progressions arithmétiques.

La dernière édition, datée de 2000, contient des chapitres supplémentaires écrits par un autre grand spécialiste : Montgomery. Celui-ci a axé son travail sur l'inégalité de Polya-Vinogradov, et, surtout, sur les techniques de grand crible, qui n'étaient pas encore bien développées à l'époque de Davenport. Ces techniques sont très puissantes, mais demandent d'être quasiment spécialiste pour bien les assimiler. Un chapitre est également consacré à une méthode découverte il y a 20 ans par son copain Vaughan, reposant sur des identités de $\zeta$ permettant d'en déduire des identités reliant les fonctions arithmétiques à la fonction de Von Mangoldt $\Lambda$. Là aussi, c'est intéressant, mais très pointu et très spécialisé.

{\bf Bref} : un livre qu'il faut posséder si l'on décide de "faire carrière" en théorie analytique des nombres, mais il ne faut pas compter sur lui lorsque l'on débute dans ce domaine (très pointu).

Après, tout dépend donc de ton niveau actuel, de tes objectifs, et choisir le livre en conséquence. Il y a bien sûr d'autres livres, je peux te renseigner, si tu le souhaites, selon ton orientation choisie.

Borde (correction des fautes. Doublon à virer. Merci).

Je crois que le vocable "système dynamique" est utilisé pour pleins de choses différentes. Si, dans ton message, {\it système dynamique} signifie en gros la donnée d'un ensemble $E$ et d'une application $F : E \mapsto E$, et l'étude des éléments de $E$ $n-$périodiques par cette application (ie $F^n(x) = x$), alors, si tu as mon livre, va voir l'exercice 4.11 p. 127 qui travaille sur un lien entre systèmes dynamiques et théorie des nombres.

Bon courage,

Borde.