démonstration arithmétique TS spé

cerise0
cerise0
dans Arithmétique
Bonjour

Soit A={1;2;3......28}
Pour x$\in$A, on note f(x) le reste de la division euclidienne de $x^17$ par 29

On sait que le reste f(x) de la division de $x^17$ par 29 vérifie: $0\leqf(x)\leq
Donc f(x)$\in$A

Comment montrer que $x^17$ est congru à son reste f(x) modulo 29?

Merci d'avance

Réponses

  • cerise0
    cerise0
    Bonjour

    Soit A={1;2;3......28}
    Pour x$\in$A, on note f(x) le reste de la division euclidienne de $x^17$ par 29

    On sait que le reste f(x) de la division de $x^17$ par 29 vérifie: $0\leqf(x)\leq
    Donc f(x)$\in$A

    Comment montrer que $x^17$ est congru à son reste f(x) modulo 29?

    Merci d'avance
  • cerise0
    cerise0
    Bonjour

    Soit A={1;2;3......28}
    Pour x$\in$A, on note f(x) le reste de la division euclidienne de $x^17$ par 29

    On sait que le reste f(x) de la division de $x^17$ par 29 vérifie: $0\leqf(x)\leq
    Donc f(x)$\in$A

    Comment montrer que $x^17$ est congru à son reste f(x) modulo 29?

    Merci d'avance
  • cerise0
    cerise0
    Désolé le latex ne fonctionne pas

    [Si il fonctionne, mais il ne faut pas oublier de $ ni de }. AD]
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonjour

    Soit $A=\{1;2;3,\ldots,28\}$
    Pour $x\in A$, on note $f(x)$ le reste de la division euclidienne de $x^{17}$ par $29$
    On sait que le reste $f(x)$ de la division de $x^{17}$ par $29$ vérifie : $0\leq f(x)\leq 28$
    Donc $f(x)\in A$
    Comment montrer que $x^{17}$ est congru à son reste $f(x) \pmod{ 29}$ ?
    Merci d'avance
    avance
  • Crou!
    Crou!
    Bonjour,

    Je ne suis peut-être pas très réveillée, mais je ne comprends pas bien la question....

    Si tu écris la définition de la division euclidienne de $x^{17}$ par 29, tu sais qu'il existe $k$ et $f(x)$ éléments de $\N$ tel que
    $$ x^{17} = 29k + f(x), $$
    (le reste par définition vaut $f(x)$ et est dans l'intervalle entier que tu as précisé).

    Donc tu as directement le résultat souhaité, non ???

    Par contre, dans ce que tu as écrit, il y a un problème si $f(x)=0$ car $0$ n'est pas élément de $A$... Si tu souhaites montrer que $\{ f(x) ; x\in A\}$ est forcément inclus dans $A$, il te faut distinguer le cas où $f(x)$ vaut 0 et montrer que ce n'est pas possible.
  • GERARD5
    GERARD5
    Le cas f(x) = 0 n'arrive pas, car 29 est premier.

    Cordialement
  • GERARD5
    GERARD5
    Le cas f(x) = 0 n'arrive pas, car 29 est premier.

    Cordialement
  • Crou!
    Crou!
    (oui je sais bien, mais il faut le préciser dans la démo tout de même ...)
  • l.g
    l.g
    justement , on veut peut être qu'il montre que le seul cas ou le reste =0 c'est tout simplement que x n'appartient pas à $A$ et de plus qu'il serait multiple de 29 ce dernier étant premier !

    d'où si x est >0et 0 et
  • Crou!
    Crou!
    ... je suis débutante dans mes interventions sur ce forum, alors j'ai pas trop l'habitude ... En fait, voilà ce que je voulais dire :

    - la démonstration du fait que f(x) est dans A est fausse telle qu'elle est écrite.
    - il faudrait montrer qu'on n'a pas le cas où f(x)=0 (... je voulais que notre ami(e) cerise découvre seul(e) pourquoi...)

    Par contre, j'ai toujours pas compris ce qui te (=cerise) pose problème pour montrer la congruence de $x^{17}$ à son reste ... puisque cela découle de la définition de la division euclidienne.

    Cordialement,

    PS : en fait, on est tous d'accord (évidemment !)
  • GERARD
    GERARD
    Excuse moi Crou!, je ne t'avais pas comprise ! Tu as bien évidemment raison, et je vois des évidences là où il n'y en a pas encore pour Cerise.

    Cordialement

    NB : Débutant sur le forum ou pas, on est tous égaux.
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