Z/pZ

Réponses

• Domi

  May 2006

  C'est vrai car $\Z/p\Z$ est un corps quand $p$ est premier et tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique ( je ne me souvient plus du nom de ce théorème ) .
  
  Domi
• borde

  May 2006

  Plus généralement, $(\Z / n \Z)^{*}$ est cyclique si et seulement si $n=2, \, 4, \, p^e\, 2p^e$, où $p \geqslant 3$ est premier et $e \geqslant 1$ est entier. Ce groupe contient $\varphi(n)$ élément, et il y a $\varphi(\varphi(n))$ générateurs, où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler.
  
  Borde.
• borde

  May 2006

  Plus généralement, $(\Z / n \Z)^{*}$ est cyclique si et seulement si $n=2, \, 4, \, p^e\, ou \, 2p^e$, où $p \geqslant 3$ est premier et $e \geqslant 1$ est entier. Ce groupe contient $\varphi(n)$ élément, et il y a $\varphi(\varphi(n))$ générateurs, où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler.
  
  Borde (doublon à virer. Merci).
• Domi

  May 2006

  Une démonstration simple du théorème cité plus haut .
  
  Soit $K$ un corps commutatif et $G$ un sous-groupe de son groupe multiplicatif . Notons $n$ l'ordre de $G$ et considérons $x$ d'ordre $m$ maximal dans $G$ .
  Supposons par l'absurde que $m m $ . Contradiction .
  
  Domi
• ptitloupfouchou

  May 2006

  Pour une autre démonstration on peu utiliser le théorême :
  
  
  Si on a un groupe G tel que le nombre de sous groupe d'ordre $d$ est au plus 1 (pour tout diviseur $d$ de $n$) alors G est cyclique
  
  
  Il suffit juste de voir dans notre cas que
  
  $ n = |G| = \sum_ {d|n}^{} \eta(d)*\psi(d)$
  
  ou $\eta (d) $ est le nombre de sous groupe de G cyclique d'ordre d
  
  (c'est juste un décomptage des éléments de G selon le groupe engendré )
  
  ici comme $\eta(d) \leq 1$
  
  (voir la remarque de Domi : pour d divisant n l'équation $ X^d = 1$ a au plus $ d$ solutions dans $ G$ donc d'après le fait que l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe il ne peu y avoir qu'un seul groupe d'ordre d )
  
  et vu que
  
  $n= \sum_ {d|n}^{} \psi(d)$
  
  
  alors forcément
  Pour tout d diviseur de n :
  $ \eta(d) =1$
  
  en particulier pour d=n : il y a un groupe cyclique d'ordre n : G est cyclique
• bs1

  May 2006

  Bonjour Borde
  Il doit manquer une virgule entre p^e et 2p^e
  
  [Le message en question est corrigé selon l'indication de Borde. AD]
• borde

  May 2006

  Oui, j'avais fait un corrigé de ce message...mais c'est ce corrigé qui a été supprimé ! Sorry !
  
  Borde.
  
  [Si c'est moi qui ai fait la gaffe, toute mes excuses AD]
• borde

  May 2006

  Le revoilà (mais il n'a qu'une importance relative, ici) :
  
  Plus généralement, $(\Z / n \Z)^{*}$ est cyclique si et seulement si $n=2, \, 4, \, p^e\, ou \, 2p^e$, où $p \geqslant 3$ est premier et $e \geqslant 1$ est entier. Ce groupe contient $\varphi(n)$ élément, et il y a $\varphi(\varphi(n))$ générateurs, où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler.
  
  Borde.