Formule déjà trouvée ?

Oui, je l'ai trouvée hier soir en me brossant les dents.

Bonsoir,

La question est :

Peut-on esperer une quelconque utilite ? On peut ecrire autant que l'on en veut des formules de tout genre possible. Si ca ne sert dans une aucune situation alors la formule n'a guere d'interet. Ou cette somme est-elle apparue?


jn.

Bonsoir,
Ah oui, je n'avais pas fait le rapprochement!
L'esperance d'une loi Binomiale $B(n,p)$ est $E=np$ et la variance est $V=np(1-p)$ qui se trouve en faisant une petite etude de fonction :

$$1=(x+(1-x))^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^k (1-x)^{n-k}$$ et en remarquant que $k x^k=x (x^{k-1})'$.

jn.

Juste une derniere remarque, pour avoir l'esperance ou la variance, et ses generalisations (moment d'ordre superieur a 2) pour une loi Binomiale, c'est plutot $$\sum_{k=0}^n k^m C_n^k p^k (1-p)^{n_k}$$ qu'il faut connaitre, il manque le terme $ (1-p)^{n_k}$ dans ta formule de depart, je ne sais pas si c'est voulu (mais alors ca ne pourra pas te servir pour avoir l'esperance et la variance) et comme je l'ai dit ci-dessus, lorsque qu'il y a ce terme dans la somme, le resultat est tres concis $E=np$, $V=np(1-p)$ etc...


Cordialement et bonne soiree.

jn.

Bon, ok alors admettons que tu veuille absolument calculer $$f_m(x)=\sum_{k=0}^n k^m C_n^k x^k.$$

Plutot que de chercher une grosse formule brutale, je te laisse reflechir a ceci : $f_0(x)=\sum_{k=0}^n C_n^k x^k=(x+1)^n$
Et
\begin{eqnarray}
&&f_1(x)=\sum_{k=0}^n k C_n^k x^k=x\sum_{k=1}^n k C_n^k x^{k-1}\\
&&f_1(x)=x\sum_{k=1}^n C_n^k (x^k)'=x\left(\sum_{k=1}^n C_n^k x^k\right)'=x(f_0(x)-1)'=xn(x+1)^{n-1}.
\end{eqnarray}

Pour calculer $f_2(x)=\sum_{k=0}^n k^2 C_n^k x^k$ on remarque que $f_2(x)=\sum_{k=1}^n k(k-1) C_n^k x^k+f_1(x)$

On a deja $f_1(x)$. Pour avoir $f_2(x)$, on ecrit $k(k-1)x^k=x^2(x^k)''$ on sort la derivee seconde de la somme, on ajuste quelques constantes pour faire commencer les indices de sommation la ou il faut, etc etc, et on obtient des resultats tres concis, sic!
Et si on veut, on peut meme ecrire une jolie forumle de recurrence pour $f_m(x)$ mais je n'ai ma fois point le courage vu que le calcul est elementaire.

jn.

bonjour

il me semble reconnaître dans ta formule la somme des éléments constituant la nième ligne du triangle de Stirling

constitué avec les dérivées successives de x^n(1+1/x)^k

(on doit multiplier par x avant chaque dérivation)

amicalement