Somme de nombres premiers

Euler4 · May 2006

Je cherche une estimation de :
 
 <IMG WIDTH="136" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/24/88534/cv/img1.png" ALT="$ \sum_{y<p_1...p_k<x}^{}\frac{ 1}{p_1...p_k}$">
 
 (x et y au vois de <IMG WIDTH="25" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/24/88534/cv/img2.png" ALT="$ \infty)$">

borde · May 2006

On a : $$\sum_{p_1...p_k \leqslant x} \frac {1}{p_1...p_k} = (\ln \ln x)^k + k \, c \, (\ln \ln x)^{k-1} + O \left ( (\ln \ln x)^{k-2} \right )$$ où $c \approx 0,261497...$ est la {\it constante de Mertens}.

Borde.

Euler4 · May 2006

Merci Borde , vous avez une reference ...

François Frédéric · May 2006

Je me permets d'intervenir:
L'exercice 12 du chapitre I.1 du livre de Tenenbaum: "Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres" traite le cas $k=2$ de la formule donnée par Borde. La solution de l'exercice est donnée dans le livre du même auteur en collaboration avec Jie Wu: "Exercices corrigés de théorie analytique et probabiliste des nombres". La formule générale s'obtient par récurrence sur $k$ suivant une méthode similaire.

Je pense que Borde qui s'y connait mieux que moi te donnera quelques précisions (ou références) supplémentaires.

F.F.

borde · May 2006

Rien à dire au sujet de la référence de F.F., qui est excellente. J'avais fait cet exo en cours avec Tenenbaum, d'ailleurs. Il se situe dans beaucoup de livre de théorie analytique des nombres.

Pour le cas $k=2$, une méthode légèrement différente se trouve dans l'excellent {\it Exercices de théorie des nombres}, par ${\bf D.P. Parent}, page 17, exercice 8.

Borde.

borde · May 2006

Rien à dire au sujet de la référence de F.F., qui est excellente. J'avais fait cet exo en cours avec Tenenbaum, d'ailleurs. Il se situe dans beaucoup de livre de théorie analytique des nombres.

Pour le cas $k=2$, une méthode légèrement différente se trouve dans l'excellent {\it Exercices de théorie des nombres}, par {\bf D.P. Parent}, page 17, exercice 8.

Borde.

ptitloupfouchou · May 2006

Peut-être est-ce indiscret mais que faites-vous dans la vie ? (c'est pour Borde) (pensant chercheur je continue donc par : ) Dans quel domaine ?

borde · May 2006

Il n'y a pas du tout d'indiscrétion à ce sujet, Ptitloupfouchou, puisque l'histoire de la "vie" de quelques-uns des intervenants de ce forum peut être consultée dans le fil intitulé <a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=271121&t=74917"> Qui sommes-nous ? </a>, ouvert par Aviva il y a deux ans, je crois.
 
 En ce qui me concerne, je suis comme beaucoup de collègues ici présents : professeur en lycée (en Auvergne. En Velay, plus précisément...).
 
 Borde.

Aleg · May 2006

ptitloupfouchou,
 et, sa modestie dût-elle en souffrir, Borde est aussi l'auteur de l'excellent ouvrage suivant, qu'on peut trouver par exemple ici
 <a href=" http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/2729827145/qid=1148564839/sr=8-1/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/403-9038725-8583623"> http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/2729827145/qid=1148564839/sr=8-1/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/403-9038725-8583623</a>
 et que je te recommande d'acquérir toutes affaires cessantes.

borde · May 2006

Merci, Aleg. Au fait, toujours pas de critiques "negatives" dessus ? J'attends toujours !

:-)

Borde.

Aleg · May 2006

Borde,
ça viendra peut-être un jour... : il faut attendre ... qu'on ait tout compris...!

borde · May 2006

OK, Aleg ! Bon courage,

Borde.

François Frédéric · May 2006

Exact, le livre de D.P. Parent est une bonne référence et la solution de l'exercice y est un peu plus détaillée (elle donne aussi une belle illustration du principe de l'hyperbole).

borde · May 2006

Ah, ça, le principe de l'hyperbole, je me traite en long et en large...dans mon livre (avec une application pratique : minoration de $\sum_{n \leqslant N} \tau(n)$ avec $N \geqslant 1$ entier).

Ce principe, extrêmement utilisé en théorie multiplicative, se doit d'être connu !

Borde.

borde · May 2006

Ah, ça, le principe de l'hyperbole, je le traite en long et en large...dans mon livre (avec une application pratique : minoration de $\sum_{n \leqslant N} \tau(n)$ avec $N \geqslant 1$ entier).

Ce principe, extrêmement utilisé en théorie multiplicative, se doit d'être connu !

Borde (doublon à supprimer. Merci).