Démo Th Valeurs Intermédiaires

C'est un peu bizarre de faire démontrer le TVI dans le secondaire sans les propriétés de construction de $\R$, du coup on est obligé de faire appel à des suites adjacentes dont on admet la convergence. Enfin bref, peu importe.

Effectivement le deuxième raisonnement est faux. Il faut que tu comprennes que le but du jeu, c'est de construire les suites $u_n$ et $v_n$ pour qu'elles convergent toutes les deux vers le point ou la courbe de ta fonction coupe l'axe $y=0$ sur le graphe. Ensuite, on va montrer que ces suites ont une limite $l$, et que $f(l)=0$.

Aucune des deux suites n'est constante parce que le signe de $f( \frac{u_n+v_n}{2} )$ dépend de $n$.

Par exemple on peut avoir, $f(\frac{u_0+v_0}{2}) \leq 0$, alors tu auras $u_1=u_0$ et $v_1=\frac{u_0+v_0}{2}$,
et puis $f(\frac{u_1+v_1}{2}) > 0$ et alors $u_2 = \frac{u_1+v_1}{2}$ et $v_2 = v_1$.

Plus calmement, je pense que le plus simple pour montrer ce résultat c'est de montrer que la suite $u$ est toujours "en dessous" de la suite $v$, par récurrence :
on a évidemment $u_0 \leq v_0$

soit $n \in \N$, tel que $u_n \leq v_n$ on distingue deux cas:
1er cas: $u_{n+1}=u_n$
et $v_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} \geq \frac{u_n+u_n}{2} = u_n = u_{n+1}$ car on à supposé $u_n \leq v_n$
2ème cas: $v_{n+1}=v_n$
et $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} \leq \frac{v_n+v_n}{2} = v_n = v_{n+1}$ toujours car on à supposé $u_n \leq v_n$

on a bien $u_{n+1} \leq v_{n+1}$

on a bien montré $\forall n \in \N$, $u_n \leq v_n$


à partir de ça on montre facilement que la suite u est croissante :

soit $n \in N$
1er cas : $u_{n+1}=u_n$
2èm cas : $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} \geq \frac{u_n+u_n}{2} = u_n$ car $u_n \leq v_n$.

donc on a toujours $u_{n+1} \geq u_n$, la suite $(u_n)$ est croissante.

Tu peux montrer de la même manière que $(v_n)$ est décroissante.

Comme la limite de la différence $(u_n-v_n)$ est nulle (tu l'as montré), ce sont deux suites adjacentes. Donc (propriété magique des suites adjacentes), elles convergent toutes les deux vers une même limite, qu'on note $c$.

Il est assez évident que $c \in [a,b]$, puisque tous les termes des deux suites sont compris dans cet intervalle.

On a $lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = c$, la fonction $f$ étant continue en $c$ (car continue sur $[a,b]$), on a donc $lim_{n \rightarrow + \infty} f(u_n) = f(c)$ (par définition de la continuité).

Et de même $lim_{n \rightarrow + \infty} f(v_n) = f(c)$.

Montrons qu'on a pour tout $n$, $f(u_n) \leq 0$, par recurrence.

La propriété est vérifiée pour $n=0$

soit $n \in \N$ tel que $f(u_n) \leq 0$, on distingue deux cas
1er cas : $u_{n+1} = u_n$, donc $f(u_{n+1})=f(u_n) \leq 0$
2ème cas : si $f( \frac{u_n+v_n}{2}) \leq 0$ alors $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}$ et donc $f(u_{n+1} \leq 0$

on a bien montré $\forall n \in \N$, $f(u_n) \leq 0$

Et on peut montrer de même $\forall n \in \N$, $f(u_n) \geq 0$

Donc (par propriété des limites, je penses que c'est dans ton cours) on a alors :
$lim_{n \rightarrow + \infty} f(u_n) \leq 0$
et $lim_{n \rightarrow + \infty} f(v_n) \geq 0$

Donc $f(c) \leq 0$ et $f(c) \geq 0$.

Et donc $f(c) = 0$

Je te laisse le soin de faire la généralisation (2ème partie).