Fonction de Möbius=mesure réelle ?
dans Arithmétique
Bonjour,
je me pose une question probablement stupide mais bon: la fonction de Möbius peut-elle être considérée comme une mesure réelle, au sens de la théorie de la mesure et de l'intégration ? En toute rigueur je devrais pouvoir le déterminer tout seul, ayant assisté à des cours sur cette théorie, mais je suis hélas très pris en ce moment.
Juste mon idée de départ:
Si on pose $\mu=\mu_{1}^{+}-\mu_{2}^{+}$, avec $\mu_{1}^{+}$ et $\mu_{2}^{+}$ deux mesures positives définies sur une tribu sur $\N*$ (par exemple $\mu_{1}^{+}(E)=min(E)$ ou quelque chose dans ce goût là), peut-on obtenir quelque chose de cohérent ?
Merci d'avance de votre réponse, car c'est assez important pour moi (pas pour mes études bien sûr !).
Cordialement,
Sylvain
Sylvain
je me pose une question probablement stupide mais bon: la fonction de Möbius peut-elle être considérée comme une mesure réelle, au sens de la théorie de la mesure et de l'intégration ? En toute rigueur je devrais pouvoir le déterminer tout seul, ayant assisté à des cours sur cette théorie, mais je suis hélas très pris en ce moment.
Juste mon idée de départ:
Si on pose $\mu=\mu_{1}^{+}-\mu_{2}^{+}$, avec $\mu_{1}^{+}$ et $\mu_{2}^{+}$ deux mesures positives définies sur une tribu sur $\N*$ (par exemple $\mu_{1}^{+}(E)=min(E)$ ou quelque chose dans ce goût là), peut-on obtenir quelque chose de cohérent ?
Merci d'avance de votre réponse, car c'est assez important pour moi (pas pour mes études bien sûr !).
Cordialement,
Sylvain
Sylvain
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Réponses
$m(E)=\sum_{n\in E} \mu(n)$ où $\mu$ désigne la fonction artihmétique de Möbius, pour $E\subseteq \mathbb{N}$ ?
brux
faudrait plutot voir ca au sens des distributions (pour peu que ce soit defini sur N)
j'ai une idée qui vaut ce qu'elle vaut:
la mesure d'un sous-ensemble E de $\N*$ la différence entre le nombre d'eléments x de E tels que $\mu(x) \geq 0$ et le nombre d'eléments x de E tels que $\mu(x) \leq 0$.
ca marche aussi avec la somme je pense.
Dans tous les cas cette mesure sera supportées par l'ensembles des nombres qui sont produit "simple" de nombres premiers(sans multiplicité)
ps: d'ailleurs je ne sais pas pas comment dire ça correctement. est ce qu'il y a une expression classique pour d"crire ce type de nombres?
Borde.
Merci encore et bonne soirée.
$\mu = \mu_+ - \mu_-$ où $\mu_+$ et $\mu_-$ sont à valeurs dans $\{0,1\}$ (vu que $\mu$ prend ses valeurs dans $\{0,\pm 1\}$).
Les fonctions $\mu_+$ et $\mu_-$ sont donc chacune fonction caractéristique d'une partie convenable de $\N$.