Fonction de Möbius=mesure réelle ?

Sylvain · May 2006

Bonjour,

je me pose une question probablement stupide mais bon: la fonction de Möbius peut-elle être considérée comme une mesure réelle, au sens de la théorie de la mesure et de l'intégration ? En toute rigueur je devrais pouvoir le déterminer tout seul, ayant assisté à des cours sur cette théorie, mais je suis hélas très pris en ce moment.
Juste mon idée de départ:
Si on pose $\mu=\mu_{1}^{+}-\mu_{2}^{+}$, avec $\mu_{1}^{+}$ et $\mu_{2}^{+}$ deux mesures positives définies sur une tribu sur $\N*$ (par exemple $\mu_{1}^{+}(E)=min(E)$ ou quelque chose dans ce goût là), peut-on obtenir quelque chose de cohérent ?
Merci d'avance de votre réponse, car c'est assez important pour moi (pas pour mes études bien sûr !).

Cordialement,

Sylvain

Sylvain

fb0 · May 2006

Qu'appelles-tu fonction de Möbius? Pour moi c'est une fonction définie sur les entiers naturels, comment fais-tu pour définir une mesure ?

brux · May 2006

Veux-tu dire que tu poserais

$m(E)=\sum_{n\in E} \mu(n)$ où $\mu$ désigne la fonction artihmétique de Möbius, pour $E\subseteq \mathbb{N}$ ?

brux

nico8 · May 2006

ca doit poser quelques problemes de convergence..?
faudrait plutot voir ca au sens des distributions (pour peu que ce soit defini sur N)

Gecko · May 2006

Bonsoir.

j'ai une idée qui vaut ce qu'elle vaut:
la mesure d'un sous-ensemble E de $\N*$ la différence entre le nombre d'eléments x de E tels que $\mu(x) \geq 0$ et le nombre d'eléments x de E tels que $\mu(x) \leq 0$.
ca marche aussi avec la somme je pense.
Dans tous les cas cette mesure sera supportées par l'ensembles des nombres qui sont produit &quotsimple" de nombres premiers(sans multiplicité)

ps: d'ailleurs je ne sais pas pas comment dire ça correctement. est ce qu'il y a une expression classique pour d&quotcrire ce type de nombres?

Gecko · May 2006

ca y'est je viens de retrouver: c'est sans facteur carré!

borde · May 2006

...ou bien $2-$libres, ce qui permet de généraliser.

Borde.

Sylvain · May 2006

Merci les amis. Pensez-vous qu'une telle idée puisse se révéler utile ? Si oui, comment ?
Merci encore et bonne soirée.

fb0 · May 2006

On peut écrire la fonction de Möbius comme différence de deux fonctions positives :

$\mu = \mu_+ - \mu_-$ où $\mu_+$ et $\mu_-$ sont à valeurs dans $\{0,1\}$ (vu que $\mu$ prend ses valeurs dans $\{0,\pm 1\}$).

Les fonctions $\mu_+$ et $\mu_-$ sont donc chacune fonction caractéristique d'une partie convenable de $\N$.

Fonction de Möbius=mesure réelle ?

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