formule du nombre de classes

Réécris ta formule sous la forme plus conventionnelle suivante : $$h_{\K} = \frac {1}{2 - (d_{\K}/2)} \times \sum_{1 \leqslant k < |d_{K}|/2} \left ( \frac {d_{K}}{k} \right ),$$ où $(d_{K}/.)$ est le symbole de Kronecker, effectivement essentiellement l'unique caractère primitif réel de Dirichlet modulo $|d_{K}|$. Cette formule est valable pour tout $d_{\K}$ vérifiant $d_{\K} < -4$ (pour le cas des corps quadratiques réels, la formule est plus compliqué car il faut tenir compte du régulateur du corps, ie des unités).

Pour ton premier exemple, ie $\K = \Q(\sqrt {-5})$, $3$ et $7$ sont totalement décomposés dans $\K$ donc $\chi(3) = \chi(7) = 1$. En remplaçant ci-dessus, cela fonctionne.

Pour le second exemple, la loi de réciprocité quadratique donnerait plutôt : $$\left ( \frac {5}{23} \right ) = \left ( \frac {23}{5} \right ),$$ non ? Ce qui colle...

Plus généralement, ta formule du nombre de classes (que tu as eu raison d'admettre...) se généralise aux corps de nombres {\bf ABELIENS} de degrés $n \geqslant 2$, mais il faut :

(i) connaître le début de la théorie des caractères d'un GAF,

(ii) Comprendre ce qu'est le groupe des caractères associés à un corps de nombres,

(iii) et, surtout, connaître le résidu en $1$ de la fonction $\zeta_{\K}$ du corps, résidu calculé par Hecke, valant : $$\frac {2^{r_1}(2 \pi)^{r_2} \mathcal {R}_{\K}}{w_{\K} |d_{\K}|^{1/2}},$$ où $(r_1,r_2)$ est la signature du corps de nombres $\K$ et $w_{\K}$ est son nombre de racines de l'unité contenues dedans. $\mathcal {R}_{\K}$ est le régulateur de ce corps.

Une fois ceci en notre possession, il est possible de démontrer la formule du nombre de classes à partir de la {\it formule du produit} pour les caractères d'un GAF.

Borde.

Salut,

par curiosité comment fait on pour déterminer le groupe des caractères d'un corps de nombres ? A priori, je dirais qu'il doit falloir commencer par trouver $n$ tel que ce corps soit contenu dans $\Q(\zeta_n)$.

Bonne soirée

De rien, Shadow, ce fut un plaisir car je m'intéresse à ce nombre de classes depuis quelques années...

Tu nous tiendras au courant quant à la soutenance de ce TIPE et au résultat obtenu.

Quant à des applications de la connaissances de ce nombre, elles sont, à mon sens, essentiellement diophantiennes.

Mais, à tout seigneur, tout honneur, la première application qui, historiquement, a servi fut bien sûr à Dirichlet pour démontrer la fin de son théorème sur l'infinitude des nombres premiers $p \equiv a \pmod q$ (avec $\gcd(a,q) = 1$). Puisque tu as acquis pas mal de connaissances dans le domaine, rappelons les étapes primordiales de la demonstration de ce théorème :

(i) Pour calquer la méthode d'Euler qui a démontré, analytiquement, l'infinitude des nombres premiers en prouvant la divergence de la série $\sum_{p} 1/p$, il faut inventer une fonction caractéristique $1_{q,a}$ de l'ensemble des entiers $n \equiv a \pmod q$ : Dirichlet a créé les {\it caractères} $\chi$ modulo $q$ qui portent son nom, et dont une combinaison linéaire adéquate fournit la fonction $1_{q,a}$ cherchée.

(ii) A l'aide de ces caractères, le problème se ramène à démontrer la {\it convergence} de la série $\sum_{p} \chi(p) / p$ avec $\chi \not = \chi_0$ est un caractère de Dirichlet {\it non principal} modulo $q$.

(iii) A l'aide de calculs fondés sur des techniques de convolution, Dirichlet démontre le résultat suivant :

{\bf Th}. Soit $\chi \not = \chi_0$ un caractère non principal modulo $q$. Alors, si $L(1 \, ; \, \chi) \not = 0$, la série $\sum_{p} \chi(p)/p$ converge, où $L(1 \, ; \, \chi)$ est la valeur en $s=1$ de la fonction $L$ $L(s \, ; \, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \chi(n)/n^s$ associée à $\chi$.

(iv) On peut montrer élémentairement que, s'il existe un caractère $\chi$ tel que $L(1 \, ; \, \chi) = 0$, alors $\chi$ ne prend que des valeurs réelles (on appelle cela un caractère réel). Dirichlet établit alors sa {\bf formule du nombre de classes} (qui sera généralisée plus tard par Hecke à tous les corps de nombres {\bf abéliens} de degré $n$).

(v) Puisque $h_{\K} \geqslant 1$, Dirichlet en déduit que, pour un caractère réel $\chi$ non principal, on a $L(1 \, ; \, \chi) \not = 0$, ce qui achève la preuve de son fameux théorème.

{\bf Autres applications}.

Si tu as lu le fil intitulé "26 et Fermat", tu as dû apercevoir le résultat suivant concernant les équations de Bachet $y^3 = x^2 + k$, avec $k > 0$ sans facteur carré, vérifiant $k \equiv 1,2 \pmod 4$ et n'est pas de la forme $k = \pm 1 + 3 m^2$ :

{\bf Th}. Avec $k$ comme ci-dessus et $\K = \Q(\sqrt {-k})$, on a : si $3 \nmid h_{\K}$, l'équation de Bachet n'a pas de solution entière.

{\bf Un résultat plus général}.

Tous ces problèmes diophantiens nécessitent de passer une étape délicate, formulée dans le résultat qui suit :

{\bf Th}. Soit $\K$ un corps de nombres, $\mathcal {I}$ un idéal entier de $\K$ et $p$ un nombre premier tel que $\mathcal {I}^p$ soit principal dans $\K$. Alors, si $p \nmid h_{\K}$, $\mathcal {I}$ est principal.


Quant à l'exemple de la somme de deux carrés que tu cites, il ne provient pas directement, à mon avis, du fait que $h(-1) = 1$, mais plutôt des {\it décompositions} d'un nombre premier $p$ dans $\K(\sqrt {-1})$. En effet, ce qui fait "marcher la machine", c'est que si $p \equiv 1 \pmod 4$ (resp. $p \equiv 3 \pmod 4$), alors $p$ est {\it totalement décomposé} (resp. inerte) dans $\K$. A noter que $p=2$ est le seul qui se ramifie dans ce corps. Je crois qu'il faut bien comprendre cela (et ça n'est pas vraiment facile...).

Puisque tu aimes ça, voilà un bonus, mais d'un niveau très difficile (M2+), qui t'obligeras, si tu en as le temps, à faire des recherches :

{\bf Th}. Soit $K = \Q(\sqrt {d})$ un corps quadratique imaginaire (ie $d < 0$) avec $d \not \equiv 1 \pmod 4$, $\K(1)$ le corps de classes d'Hilbert de $\K$^, et $p \geqslant 3$ un nombre premier non ramifié (ie $p \nmid d_{\K}$). Alors, $p$ est complètement décomposé dans $\K(1)$ si et seulement s'il existe des entiers $m,n$ tels que $p = m^2 - dn^2$.

Borde.

Borde, "corps abéliens" signifie-t'il "corps commutatifs" ?

Shadow,
<BR>
<BR>Pendant que j'y pense, si tu peux consulter mon livre, tu trouveras en page 73 une autre application, étonnante, de la connaissance du nombre de classes d'un corps quadratique imaginaire (théorème 3.59), et, surtout, de la connaissance de <B>tous</B> les corps quadratiques imaginaires <B>principaux</B> (ils sont en nombre fini).
<BR>
<BR>Borde.<BR>