Une équation dans N^3
dans Arithmétique
Bonjour,
Je réfléchis à cet exercice et il y a un passage ds la correction que je ne saisis pas ! Voici l'énoncé :
Résoudre ds $\N^3$ l'équation : $10x+15y+6z=133 \; (1)$.
On montre facilement que si $(x,y,z)$ est solution de l'équation (1) alors $y$ est forcément impair. On a alors $y=2Y+1$, $Y \in \N$.
L'équation de départ est alors équivalente à : $5x+15Y+3z=59$ (2).
Voici la partie que je ne saisis pas : si $(x,Y,z)$ est solution de (2) alors $3 | 2x-2$.
Qqun peut-il m'éclairer ?
D'avance merci. Au fait, peut-on parler ici d'équation diophantienne ?
Bati
Je réfléchis à cet exercice et il y a un passage ds la correction que je ne saisis pas ! Voici l'énoncé :
Résoudre ds $\N^3$ l'équation : $10x+15y+6z=133 \; (1)$.
On montre facilement que si $(x,y,z)$ est solution de l'équation (1) alors $y$ est forcément impair. On a alors $y=2Y+1$, $Y \in \N$.
L'équation de départ est alors équivalente à : $5x+15Y+3z=59$ (2).
Voici la partie que je ne saisis pas : si $(x,Y,z)$ est solution de (2) alors $3 | 2x-2$.
Qqun peut-il m'éclairer ?
D'avance merci. Au fait, peut-on parler ici d'équation diophantienne ?
Bati
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Réponses
Remarque : tu peux faire la même chose avec $5$ à la place de $3$.
si l'ordre des choix , Ajouter une pièce jointe , Aperçu , Envoyer , subissait une petite transposition : Aperçu , Ajouter une pièce jointe , Envoyer , on éviterais peut-être quelques ratés , pour moi en tout cas ( l'association vue fléchissante et souris encrassée m'a souvent joué des tours ) .
Domi
Merci à fb pour sa réponse !
Une autre manière de voir les choses est de considérer le morphisme réduction modulo 3 :$\Z \rightarrow \Z/3\Z$, qui envoie ton équation (2) dans l'équation modulo 3
$2x=2\pmod{3}$
qui donne d'une part $2x-2=0\pmod{3}$ donc $3\mid (2x-2)$ comme on te demande,
mais aussi $x=1\pmod{3}$ puisque 2 est inversible (d'inverse 2) dans $\Z/3\Z$, et donc $x=3k+1$, avec $k\in \N$.
Tu peux aussi faire la même chose en réduisant $\pmod{5}$ mais de manière générale $\pmod{n}$ pour tout $n$ qui te convient.
Alain
3|2x-2 implique (avec Bezout et Gauss) que x=3k+1 avec k dans IN.
Donc on a : 10(1+3k)+15(2Y+1)+6z=133
D'où 5(Y+k)+z=18 , donc 5|18-z et avec 18-z>0 car Y+k>0
Donc z est dans {3;8;13;18} etc........
Voilà (retourne aux révisions de bac)