Nombres Carmichaël

Bonjour,

La preuve de l'infinitude de l'ensemble des nombres de Carmichael se trouve dans l'article suivant : \lien {http://www.dms.umontreal.ca/\~{}andrew/PDF/carmichael.pdf}

Un rapide coup d'oeil à cet article montre que :

(i) Il y a eu des tentatives, avant les auteurs de cet article, mais aucune n'a abouti.

(ii) Les outils employés sont (bien) au-delà du niveau Bac + 2 (théorème de Brun-Titchmarsh, idées d'Erdös, etc).

Pour parler de façon plus imagée, un entier $n$ sans facteur carré est un nombre de Carmichaël si et seulement si, pour tout facteur premier $p$ de $n$, on a $(p-1) \mid (n-1)$. Ainsi, si $x \geqslant 2$ est un réel grand, il faut minorer la somme : $$\sum_{n \leqslant x, \, p \mid n \Longrightarrow (p-1) \mid (n-1)} \mu^2(n),$$ où $\mu$ est la fonction de Möbius. Les méthodes de crible combinatoire de Brun-Selberg peuvent peut-être être employée dans ce problème (mais cela n'est pas évident au premier abord), mais, dans tous les cas, cela reste un porblème très difficile.

Borde.