anneau des entiers

Ce théorème s'applique en fait si le nombre premier $p$ ne divise pas l'indice de $\theta$, ie le nombre $f$ défini par $f = \left [ \mathcal {O}_{K} \, : \, \Z[\theta] \right ]$.

Il existe des critères qui permettent de déterminer si, pour un nombre premier $p$ fixé, on a $p \nmid f$. En voici un, dû à Diaz y Diaz de luniversité de Bordeaux 1 :

Soit $P$ le polynôme minimal de $\theta$ décomposé dans $\mathbb {F}_p[X]$ sous la forme $$P \equiv P_1^{e_1}...P_g^{e_g},$$ et soit $R_i \in p\Z[X]$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $P_i$. Alors on a :

$p \nmid f \Longleftrightarrow$ pour tout $i \in \{ 1,...,g \}$ tel que $e_i \geqslant 2$, on a $R \not \in p^2 \Z[X]$.

{\bf Exemple}. $P = X^3 - 7$. Puisqu'on a clairement $P \equiv X^3 \pmod 7$, on a $g=1$, $e_1 = 3$, $P_1 = X$ et $R_1 = -7 \not \in 49 \Z[X]$. Ainsi, $7 \nmid f$, et le théorème de Kummer s'applique.

A noter qu'il existe une version de ce théorème lorsque $p \mid f$, qui est bien sûr moins précise, mais qui donne déjà de précieux renseignements.

Borde.

Oui, dès lors que tu as une factorisation de $P$ dans $\mathbb {F}_p[X]$...ce qui, il faut bien le dire, est souvent (très) difficile à obtenir, ce qui d'autant plus regrettable que cette factorisation est quasi-obligatoire, puisqu'elle est à la base de beaucoup de résultats sur les corps de nombres.

Dedekind avait établi un autre critère assez similaire.

A +

Borde.