Les fonctions génératrices

Wilf est spécialiste d'analyse combinatoire, mais l'idée générale en théorie des nombres est la même.

Prenons un cadre concret : celui des fonctions multiplicatives.

{\bf Exemple} : $f(n) = \tau(n)$, le nombre de diviseurs de $n$, dont on souhaite obtenir des propriétés arithmétiques. Dans une certaine branche de la théorie des nombres, l'un des problèmes essentiels est l'estimation des sommes partielles $\displaystyle {\sum_{n \leqslant x} \tau(n)}$.

On peut, à l'aide de méthodes "élémentaires" mais astucieuses ({\it principe de l'hyperbole de Dirichlet}), obtenir de bonnes estimations de cette somme, mais, pour améliorer les résultats, on passe par la fonction génératrice de la fonction $\tau$ qui, ici et en raison de son caractère multiplicatif, n'est pas une série entière mais une série de Dirichlet : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\tau(n)}{n^s} = \zeta(s)^2,$$ où $\zeta$ est la fonction zeta de Riemann, et $s$ est un nombre complexe tel que $\Re s > 1$. La fonction $\zeta$ a été étudiée sous toutes ses coutures en analyse complexe, et, en connaissant certaines propriétés, on arrive à extraire de $\zeta^2$ les sommes partielles souhaitées, et ce avec un bon terme d'erreur.

Borde.

Parmi les pistes possibles de généralisation, on peut considérer les fonctions génératrices à plusieurs variables, commutantes ou non.

bbmm,

outre les fct génératrices du type $\sum\,a_nz^n$, il y a des fcts génératrices exponentielles $\sum\,a_n\frac{z^n}{n!}$ ou encore des fcts génératrices de Dirichlet $\sum\,\frac{a_n}{n^z}$, dont Borde a parlé plus haut, mais je connais pas de fcts génératrices "trigonométriques" proprement dites (mais enfin, à mon avis, tu peux les définir simplement à partir des fg exponentielles).

Pour des applications de ces diverses fg avec exemples et exercices, je te recommande le célèbre ouvrage suivant :
D.E. Knuth et al., {\bf concrete mathematics}, ed. Addsion-Wesley.

il y a une traduction française qu'on peut trouver par exemple ici :
\lien{http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/2711748243/qid=1149449067/sr=2-1/ref=sr_2_9_1/171-5127716-4245002}
Evidemment c'est pas donné, mais, étant donné l'immense talent des auteurs, {\bf aucun} acheteur de ce livre n'a jamais regretté son geste...