Intégralement clos

Benzin ! · June 2006

Bonjour, j'ai une question pour les bonnes âmes arithméticiennes du forum.

Je n'arrive pas à comprendre comment la notion d'anneau « intégralement clos » est apparue naturellement en théorie des nombres. Que l'on étudie les zéros des polynômes unitaires sur un anneau me paraît bien naturel, mais je ne vois pas pourquoi on les cherche uniquement dans le corps des fractions de l'anneau et pas, mettons, dans la clôture algébrique dudit corps.

Il me semble que du coup, on est moins intéressé par une analogie avec les nombres algébriques que par le fait que dans un anneau intégralement clos, certaines choses se passent comme dans Z.

J'ai bien vu qu'en géométrie algébrique, la lissité d'une variété se lit sur le fait que l'anneau des fonctions est intégralement clos, mais on me souffle que la notion de clôture intégrale est probblement antérieure à ces considérations.

Bref, si une bonne âme peut me dire comment cette notion est apparue en théorie des nombres, ça me ferait bien plaisir.
Merci beaucoup !
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Benzin !

borde · June 2006

Mon point de vue (qui vaut ce qu'il vaut !) est le suivant :

(1) Soit $\mathcal {A}$ un anneau intégralement clos, $\K$ son corps de fractions et $\mathbb {L} / \K$ une extension de $\K$. Soit $x \in \mathbb {L}$ algébrique sur $\K$. Alors, il y a équivalence entre le fait que $x$ appartienne à l'anneau des entiers de $\mathbb {L}$ et le fait que son polynôme minimal soit à coefficients dans $\mathcal {A}$. en particulier, si l'extension $\mathbb {L} / \K$ est de degré fini, alors la trace et la norme de $x$ sont des éléments de $\mathcal {A}$.

(2) Plus prosaïquement, la volonté des chercheurs du 19ème siècle de créer des anneaux généralisant $\Z$, mais dans lesquels l'arithmétique y serait "comparable", les a conduit à inventer la notion d'anneaux de Dedekind, qui, entre autres, sont intégralement clos.

Borde.

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