Conjecture de Dickson

Utilisateur anonyme · June 2006

Bonjour,
 
 Juste pour signaler que Green et Tao ont prépublié aujourd'hui un document très attendu où ils démontrent conditionnellement la conjecture de Dickson (laquelle implique premiers jumeaux et Golbach faible) dans le cas "complexité finie" <a href=" http://fr.arxiv.org/abs/math.NT/0606088"> http://fr.arxiv.org/abs/math.NT/0606088</a>.
 
 Ils ont aussi un autre papier sur l'"uniformité quadratique" de la fonction de Moebius <a href=" http://fr.arxiv.org/abs/math.NT/0606087"> http://fr.arxiv.org/abs/math.NT/0606087</a> où ils démontrent certains cas de leur conditionnement de Dickson (et annoncent les autres cas pour bientôt, menant à une preuve inconditionnelle du cas "complexité finie").

Utilisateur anonyme · June 2006

Correction pour modérateurs: thème arithmétique, niveau M++ (j'ai fait un aperçu qui me les a enlevés, désolé).

borde · June 2006

Merci, Abc.

J'ai commencé à lire le premier texte, qui est assez pénible à suivre, notamment en partie à cause de notations parfois redondantes (par exemple, la "fonction locale de Von Mangoldt" $\Lambda_{\Z_q}$ me semble inutile).

Borde.

fb0 · June 2006

Pour ceux qui ont suivi le fil de discussion "Une série..." le deuxième article mentionné par abc semble extrêmement intéressant ! Car il parle notamment de sommes d'exponentielles quadratiques. Mais à vrai dire ces articles sont d'un niveau un peu trop élevé pour moi.

borde · June 2006

Ce n'est pas seulement de ces sommes d'exponentielles dont il s'agit, car celles-ci (en tout cas telles que je les conçois) sont connues depuis un bon demi-siècle.

Mais il est vrai que ces "preprint" sont assez lourds à lire, et gagneraient à être plus concis.

Borde.

ptitloupfouchou · June 2006

Juste pour savoir c'est Green et Tao qui ont montré la conjecture de Erdos pour les nombres premiers ?

( Si on considère un ensemble infini E d'entiers natuels non nuls dont la somme des inverses diverge alors pour tout entier naturel non nul k il existe k éléments de E en progression arithmétique )

Utilisateur anonyme · June 2006

Oui, ce sont les même. Leur listes respectives de preprints sont
 <a href=" http://arxiv.org/find/math/1/au:+Green_B/0/1/0/all/0/1"> http://arxiv.org/find/math/1/au:+Green_B/0/1/0/all/0/1</a> et
 <a href=" http://arxiv.org/find/math/1/au:+Tao_T/0/1/0/all/0/1"> http://arxiv.org/find/math/1/au:+Tao_T/0/1/0/all/0/1</a>.
 
 Tao a également plein de petites notes sur sa page de théorie des nombres <a href=" http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/acnt.html"> http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/acnt.html</a>
 
 Pour le théorème de Green-Tao il y a aussi un séminaire Bourbaki par Bernard Host <a href=" http://www.dma.ens.fr/users/bourbaki/TEXTES/944.pdf"> http://www.dma.ens.fr/users/bourbaki/TEXTES/944.pdf</a>.

ryo · June 2006

Juste pour ma culture les premiers jumeaux c'est : "l'ensemble $p$ premiers tels que $p+2$ est premier est infini" et Golbach c'est "tout entier pair est somme de 2 nombres premiers"?

Et est-ce qu'il y a une formulation "jolie" de la conjecture de Dickson (sur le lien d'abc je n'ai rien compris, si il existe une formulation dans le meme ordre que les 2 que j'ai ecrites je suis preneur) ou c'est plus un truc technique?

superman · June 2006

\lien{http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Econome.htm#Dickson} en bas de la page !

ryo · June 2006

M'apercevant tardivement que google peut me renseigner je peux dire que j'ai tort sur Golbach faible dont l'enonce est "tout entier premier impair $\geq 9$ est somme de $3$ nombres premiers, l'enonce plus haut etant Golbach fort

Pour ce qui est de Dickson j'ai trouve ca :
Pour toute suite $(a_n)_{n \in N^*}$ et $(b_n)_n$
il existe une infinité de valeurs de n telles que tous les nombres
$a_1n + b_1$, $a_2n + b_2$, ...,$a_kn + b_k$ soient simultanément des nombres premiers, sauf s'il existe un entier $d$ qui, pour tout $n$, divise le produit $(a_1n + b1)(a_2n + b_2)...(a_kn + bk)$

Démontrée cette conjecture, permettrait de dire que:
les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini
les nombres composés $2^n - 1$, avec $n$ premier, sont en nombre infini
etc.

Un cas particulier de la conjecture de Dickson est le theoreme de Dirichlet qui affirme que : Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme $an + b$.

Voila en esperant avoir ete utile a ceux qui comme moi s'interessent au sujet mais n'en maitrisent pas les outils