Polynome à valeurs premières

Je sais qu'il n'existe aucun polynôme à coefficients dans $\Z$ qui ne prenne, à partir d'un certain rang (noté $n_0$ ), que des valeurs premières, j'ai essayé de le démontrer mais je bute. Voici ce que j'ai fait:

On note un tel polynôme de la façon suivante:

$ P(X)=a_0+a_1 X+...+a_n X^n $

$a_0$ est non nul sinon on factorise par $X$ donc on trouve autant de diviseurs qu'on veut.
$a_0 = 1$ , en effet: $P(a_0)$ est factorisable par $a_0$. (si $a_0$ ne dépasse pas $n_0$, on prend $ka_0$ avec $k$ suffisament grand).


Ensuite, soit un naturel $m$ tel que: $m=1$ modulo $a_0+a_1+...+a_n$.
ALors $P(m)=a_0+a_1+...+a_n$ modulo $a_0+a_1+...+a_n$ (règle de la congruence).

Ainsi, on a des $m$ diviseurs de $P(m)$ aussi grands qu'on veut .... sauf si la somme des coefficients vaut $1$, et c'est la que je bloque, je n'arrive pas à trouver d'absurdité...

Merci de me donner un coup de main.
Hugo.