unités

Si l'élément en question est dans l'anneau des entiers, c'est bon dans les deux sens (la norme est le produit des conjugués).

Bonsoir,

En fait, on a l'équivalence suivante :

$\alpha\in O_{k}$ est inversible dans $O_{k}$ si et seulement si $N_{K/\Q}(\alpha)=\pm 1$

En effet :

i) Si $\alpha$ est inversible dans $O_{k}$, alors il existe $\beta$ dans $O_{k}$ tel que :
$$\alpha.\beta=1$$
On a alors :
$$N_{K/\Q}(\alpha).N_{K/\Q}(\beta)=1$$
Comme $\alpha$ et $\beta$ sont dans $O_{K}$, leurs normes sont dans $\Z$, et donc égales à $\pm 1$ d'après ce qui précède.

ii) Réciproquement, supposons que $N_{K/\Q}(\alpha)=\pm 1$
Soit $f$ le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$ :
$$f(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...+a_{n-1}
X^{n-1}+a_{n}$$
Les $a_{i}$ sont dans $\Z$ car $\alpha\in O_{k}$, et $a_{0}=\pm 1$ car $N_{K/\Q}(\alpha)=\pm 1$.
On a alors :
$$\frac{1}{a_{0}\alpha^{n}}f(\alpha)=0$$
soit :
$$\frac{1}{\alpha^{n}}+\frac{a_{1}}{a_{0}}
\frac{1}{\alpha^{n-1}}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{0}
}\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{a_{0}}=0$$
et donc on peut écrire :
$$Q(\frac{1}{\alpha})=0$$
avec $\Q\in \Z[X]$, autrement dit $\alpha$ est inversible dans $O_{k}$.

Amicalement.
Olivier.