Ordre moyen de 1/phi

Les calculs sont tous corrects, seule la dernière ligne est fausse. Notons $F(s)$ la série de Dirichlet de $1/ \varphi$. D'après ce que tu as écrit, $\displaystyle {F(s-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {n}{\varphi(n)} \times \frac {1}{n^s} = \zeta(s) h(s-1)}$, où $h(s-1)$ est régulière pour $\Re s > 0$. On en déduit par les outils classiques de théorie analytique des nombres : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {n}{\varphi(n)} = c \, x + O \left ( \frac {x}{\ln x} \right ),$$ où $\displaystyle {c = \prod_{p} \left ( 1 - \frac {1}{p} + \frac {1}{p-1} \right )}$ (j'ai utilisé ici la méthode de Selberg-Delange). Une sommation partielle permet de conclure.

Borde.

Oui : j'ai pris Selberg-Delange pour aller plus vite, mais les autres techniques habituelles (formule de Perron + résidus ou théorème taubérien) fonctionnent également très bien.

Sur le forum, j'utilise le plus souvent Selberg-Delange, car les intervenants demandent le plus souvent un terme d'erreur "normal", voire simplement un équivalent. Les théorèmes taubériens plus élaborés (voir Tenenbaum) n'ont pas de terme explicite aussi bons. Le mieux restant tout de même l'intégration complexe sur un contour.

Borde.

...D'ailleurs (j'allais oublier), voici une version simplifiée de Selberg-Delange que l'on utilise en pratique :

Soit $F(s)$ une série de Dirichlet vérifiant $F(s) = \zeta(s)^z \times G(s; \, z)$ avec $s,z \in \C$ tels que $\Re s > 1$. On suppose que $F$ est à coefficients positifs, que $G(s; \, z)$ est prolongeable en une fonction holomorphe sur $\Re s \geqslant 1 - c_0 / \left ( 1 + \max(0, \, \ln |\Im s|) \right )$ et qu'il existe $M > 0$ et $0 < \delta < 1$ tels que, pour tout $s$ dans le domaine ci-dessus, on ait $\left | G(s ; \, z) \right | \leqslant M \left ( 1 + |\Im s|) ^{1 - \delta}$. Alors on a, uniformément pour $x \geqslant 3$ et $|z| \leqslant A$ (avec $A > 0$) : $$\sum_{n \leqslant x} f(n) = x (\ln x)^{z-1} \left \{ \frac {G(1; \, z)}{\Gamma(z)} + O_{A} \left ( \frac {M}{\ln x} \right) \right \}.$$

Borde (correction effectuée. Doublon à virer. Merci).

Une autre somme, similaire à celle-ci, est très utilisée dans les méthodes de crible (grand crible, notamment), la même portant sur les entiers sans facteur carré : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\mu^2(n)}{\varphi(n)} = \ln x + \gamma + \sum_{p} \frac {\ln p}{p(p-1)} + o(1).$$

Borde.

Pilz, ton truc n'est pas si hallucinant que ça. D'abord la suite n'est dense que dans $[1,+\infty[$ (puisque $\varphi(n)\leq n$). Sinon, on utilise le résultat suivant, exo de niveau licence :

si $u_n$ est une suite croissante telle que $u_n\to +\infty$ et $u_{n+1}-u_n\to 0$, alors $\{u_m-u_n, n,m\in \N^2\}$ est dense dans $\R$.

Comme la série $\sum_p-\ln 1-\frac{1}{p}$ diverge (somme sur les nombres premiers), la densité de $\frac{n}{\varphi(n)}$ dans $[1,+\infty[$ en est une application. On obtient ainsi la densité des $\prod_{x\leq p\leq y}\frac{1}{1-1/p}$ lorsque $x$ et $y$ vivent dans $\N$. Or ces nombres sont de la forme $n/\varphi(n)$ pour un $n$ adapté.

Mais c'est juste un exo d'analyse, pas d'arithmétique.

Laotseu.