Zeta sur Z/pZ

Sylvain, j'apprécie tes conjectures enthousiastes et le fait que tu ne te prennes pas trop au sérieux !

En plus, l'équipe de France est qualifiée, que demander de plus!

Je vais quand même te répondre (un peu) sérieusement : on sait associer une fonction zêta $\zeta_A(s)$ à tout anneau $A$ commutatif de type fini. La variable $s$ est complexe, il y a convergence sur un demi-plan et prolongement conjectural. On retrouve la fonction zêta usuelle pour $A=\Z$ et la fonction zêta de Dedekind lorsque $A$ est l'anneau des entiers d'un corps de nombres... Si cela t'intéresse, je pourrai te donner la définition, qui n'est pas extrêmement compliquée. En revanche, je ne connais pas d'analogue de la fonction zêta pour lequel la variable appartient à un corps de caractéristique $p$. J'espère avoir apporté un peu d'eau à ton moulin...

La voici :

Considérons un anneau $A$ commutatif de type fini (cela signifie qu'il existe un nombre fini d'éléments $x_1, \ldots x_n$ de $A$ engendrant $A$ comme anneau, ou encore que $A$ est un quotient de l'anneau de polynômes $\Z[X_1,\ldots X_n]$ pour un certain entier $n$).

On dit qu'un idéal $\frak{p}$ de $A$ est \textit{maximal} lorsque l'anneau quotient $A/\frak{p}$ est un corps. Par hypothèse sur $A$, ce corps est alors nécessairement un corps fini, et l'on note $N(\frak{p})$ son cardinal, qui est une puissance d'un nombre premier.

Par exemple, les idéaux maximaux de l'anneau $A = \Z$ sont les idéaux $p \Z$, où $p$ parcourt l'ensemble des nombres premiers. On peut remarquer que $N(p\Z) = p$ pour tout nombre premier $p$.

La fonction $\zeta_A$ associée à $A$ est définie par

$$\zeta_A(s) = \prod_{\frak{p}} \frac{1}{1-N(\frak{p})^{-s}}$$

où le produit est pris sur les idéaux maximaux de $A$ et $s$ est une variable complexe. Il y a convergence du produit pour $\Re(s)$ suffisamment grande. Pour $A=\Z$, on retrouve $\zeta_A = \zeta$.

Il est conjecturé que $\zeta_A$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\C$. Je pense que l'on conjecture également la localisation des zéros non triviaux sur une droite critique (il faudrait que je vérifie). Lorsque $A$ est un anneau de type fini sur le corps fini $\Z/p\Z$, il s'agit des conjectures de Weil, qui ont été démontrées : on sait donc démontrer (l'analogue de) l'hypothèse de Riemann dans ce cas.

Voici quelques propriétés amusantes :

Si $A[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients dans $A$, on a $\zeta_{A[X]}(s) = \zeta_A(s-1)$.

Si $A$ et $B$ sont deux anneaux de type fini, alors $\zeta_{A \times B}(s) = \zeta_A(s) \zeta_B(s)$.

Si $A=\Z[X,Y]/(P(X,Y))$ où $P(X,Y)$ est un polynôme définissant une courbe elliptique (par exemple $P(X,Y)= Y^2 - X^3- k$ avec $k \in \Z$ non nul), on retrouve essentiellement la fonction $L$ associée à la courbe elliptique. Je pourrais vous en parler plus en détail car c'était le sujet de ma thèse...

Si $A= \Z/p\Z$ on trouve simplement $\zeta_A(s) = 1/(1-p^{-s})$. L'analogue de l'hypothèse de Riemann consiste à dire que les zéros du dénominateur se trouvent tous sur la droite $\Re(s)=0$.

Ce point de vue est essentiellement dû à Serre, je crois, et permet d'englober pas mal de définitions de fonctions zêta qui étaient déjà connues.

Oui, c'est une manière d'écrire la définition de la fonction zêta usuelle qui utilise la fonction $\zeta_{\Z/p\Z}$ définie plus haut.

Pour la fonction zêta générale, on pourra écrire de même :

$$\zeta_A(s) = \prod_{\frak{p}} \zeta_{A/\frak{p}}(s),$$

et $A/\frak{p}$ est un corps fini. En effet, si $\mathbb{F}_q$ désigne le corps fini à $q$ éléments, on a

$$\zeta_{\mathbb{F}_q}(s) = 1/(1-q^{-s}).$$

Comme quoi, tout se tient !

Je ne suis pas tout à fait d'accord : la fonction zêta de Dedekind correspond au cas où $A$ est l'anneau des entiers d'un corps de nombres. Pour un anneau quelconque, on obtient des fonctions zêta plus générales (par exemple, celles associées aux courbes elliptiques).

Salut Joaopa,

Tu pensais aux fonctions $L$ d'Artin, peut-être ? Elles sont définies effectivement su n'importe quel corps de nombres, mais le cas non galoisien n'a pas livré ses secrets !

T'ai-je aidé comme tu le souhaitais ?

Borde.

On peut définir une fonction zeta pour tout schéma de type fini X sur Z.
Soit X un schéma et soit x un point de l'atomisation de X, c'est-à-dire que {x} est clos dans X (ce qui revient à dire que le corps résiduel k(x) est fini). Si x appartient à At[x] on dit que le nombre N(x) d'élément de k(x) est la norme de x.

On défini alorsla fonction zeta sur le schéma X par le produit:

$\zeta(X,s)=\displaystyle{\prod_{p\in \mathbb{At[X]}}\1/(1-1/N(x)),$

Le niveau en algèbre me dépasse: est-ce ce que l'on appelle les L-fonctions motiviques ?
Dans la lignée des fonctions de Dedekind, il y a les fonctions de Hecke plus générales.