Nombre premier
dans Arithmétique
Bonjour,
Je viens de trouver et démontrer un résultat intéressant bien qu' il soit apparemment inexploitable.
Il a déjà surement été démontré mais voila:
soit $n \in \N^*$
$n$ est premier si et seulement si $\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} [E(\frac{n}{k}) - E(\frac{n-1}{k})] = 1}$ où $E$ désigne la partie entière.
C' est fou ce qu' on peut trouver comme formules sur les nombres premiers
Je viens de trouver et démontrer un résultat intéressant bien qu' il soit apparemment inexploitable.
Il a déjà surement été démontré mais voila:
soit $n \in \N^*$
$n$ est premier si et seulement si $\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} [E(\frac{n}{k}) - E(\frac{n-1}{k})] = 1}$ où $E$ désigne la partie entière.
C' est fou ce qu' on peut trouver comme formules sur les nombres premiers
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Réponses
Néanmoins, la différence des parties entières et l'estimation grossière de cette différence par $\displaystyle {\frac {1}{k} + O(1)}$ risque de ne faire de cette formule qu'un bel exemple théorique. Mais nul doute que ce résultat plaira à bon nombre d'intervants du forum.
Borde.
bob
<BR>
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="165" HEIGHT="50" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/9/92638/cv/img2.png" ALT="$ \displaystyle [E(\frac{n}{k}) - E(\frac{n-1}{k})] = 0$"></SPAN>
<BR>
<BR>et on voit clairement que c'est équivalent à dire que n n'est pas un multiple de k d'ou le résultat il me semble.<BR>
Soit $n \in \N^{*}$
On note $D(n)$ le nombre de diviseurs de $n$
Alors $\displaystyle{D(n) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} [ E(\frac{n}{k}) - E(\frac{n-1}{k})]}$
Donc $n$ est premier si et seulement si $D(n) = 2$
Ce qui s' écrit également $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} E(\frac{n}{k}) = \sum_{k=1}^{n-1} E(\frac{n-1}{k})}$
J' ai tracé la courbe représentative de $D$ sous maple (en considérant $\displaystyle{D(x) = 1 + \sum_{k=1}^{E(x)-1} [ E(\frac{E(x)}{k}) - E(\frac{E(x)-1}{k})]}$ )
Et la courbe est très chaotique, mais semble "ne jamais aller très haut" comparé à la taille des nombres.
On peut majorer $D(n)$ par $\displaystyle{1 + n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}$ mais c' est une majoration grossière, ce qui est du aux parties entières.
J' essaie de trouver un équivalent de $D(n)$ mais je n' y arrive pas.
La démonstration de l' écriture de $D(n)$ n' est pas longue (1 page), je la met dès que j' ai le temps.
Exemple: $7=p(4)$ et $4$ est composé, on a appliqué une fois la fonction $p$ qui à $n$ associe le $n$-ième nombre premier, donc on dira que $7$ est {\bf d'ordre de primalité 1}.
De même $67=p(19)=p(p(8))$, $8$ est composé, on a appliqué deux fois la fonction $p$, donc $67$ est {\bf d'ordre de primalité 2}.
Ce genre de classification des entiers devrait, je pense, s'avérer utile.
Qu'en pense l'ami Borde ? :-)
Sylvain
Exemple: $7=p(4)$ et $4$ est composé, on a appliqué une fois la fonction $p$ qui à $n$ associe le $n$-ième nombre premier, donc on dira que $7$ est {\bf d'ordre de primalité 1}.
De même $67=p(19)=p(p(8))$, $8$ est composé, on a appliqué deux fois la fonction $p$, donc $67$ est {\bf d'ordre de primalité 2}.
Ce genre de classification des entiers devrait, je pense, s'avérer utile.
Qu'en pense l'ami Borde ? :-)
Sylvain
{\it Et pour cause} : si $\tau$ désigne la fonction nombre de diviseurs, on a les propriétés suivantes :
(i) Pour tout $\varepsilon > 0$, on a $\tau(n) \ll_{\varepsilon} n^{\varepsilon}$ ({\it Référence} : mon livre, exercice 4.4 page 125).
(ii) {\bf L'ordre normal} de la fonction $\tau$ est $(\ln n)^{\ln 2}$. Autrement dit, pour un ensemble d'entiers naturels {\bf de densité} $1$, on a : $$\tau(n) = (\ln n)^{\ln 2 + o(1)}.$$
(iii) {\bf L'ordre moyen} de la fonction $\tau$ est $\ln n + 2 \gamma -1$. Autrement dit, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $$\frac {1}{n} \sum_{k \leqslant n} \tau(k) \sim \ln n + 2 \gamma -1.$$
Sylvain : j'ai compris ta notion, mais il faudrait que tu précises l'idée que tu as en tête. Par exemple, que peut nous apporter le renseignement qui précise que $67$ est d'ordre de primalité 2 ?
Borde.
Observation amusante: $67$ et $17$ sont d'ordre de primalité $2$ et on a:
$$E((67)^{1/2})=8=\pi^{(2)}(67)$$
$$E((17)^{1/2})=4=\pi^{(2)}(17)$$
Peut-on généraliser ?
Sylvain
Soit $d(k)$ le nombre diviseurs de $k$
Soit $\displaystyle{S_n = \sum_{k=1}^{n} d (k)}$
On voit aussi que $\displaystyle{S_n = \sum_{i=1}^{n} s (i)}$ où $s(i)$ est le nombre de fois où $i$ est un diviseur d' un nombre entre $1$ et $n$.
$s(i) = card A$ où $A = \{1..n\} \cap i \Z$
On en déduit que $\displaystyle{s(i) = E (\frac{n}{i})}$
Comme $d(n) = S_n - S_{n-1}$
On a $\displaystyle{d(n) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} [E(\frac{n}{k}) - E(\frac{n-1}{k})]}$
$n$ est premier si et seulement si $\displaystyle{d(n) = 2}$
D' où le résultat.
---
"Autrement dit, pour un ensemble d'entiers naturels de densité $1$" ca veut dire quoi ?
Cette méthode (cf th 4.24 de mon livre) est extrêmement utilisée en théorie analytique des nombres.
Enfin, l'expression "pour un ensemble d'entiers de densité 1" signifie que, si $E$ est l'ensemble considéré, alors, pour tout réel $x \geqslant 1$, on a $$\sum_{n \leqslant x, \, n \in E} 1 = x(1+o(1)).$$
Salut Sylvain,
Des parallèles comme tu l'évoques ont déjà été étudié, en particulier en théorie transcendentale des nombres, où la $\Q-$dépendance linéaire est très présente. Mais c'est bien : continue à avoir des idées, cela développe le goût pour la recherche...
Borde.
Cette méthode (cf th 4.24 de mon livre) est extrêmement utilisée en théorie analytique des nombres.
Enfin, l'expression "pour un ensemble d'entiers de densité 1" signifie que, si $E$ est l'ensemble considéré, alors, pour tout réel $x \geqslant 1$, on a $$\sum_{n \leqslant x, \, n \in E} 1 = x(1+o(1)).$$
Salut Sylvain,
Des parallèles comme tu l'évoques ont déjà été étudié, en particulier en théorie transcendentale des nombres, où la $\Q-$dépendance linéaire est très présente. Mais c'est bien : continue à avoir des idées, cela développe le goût pour la recherche...
Borde (doublon à supprimer. Cela faisait longtemps, ça doit être la défaite de l'équipe de France ! Merci, en tout cas !).