Exo olympiades
dans Arithmétique
Un grand-père et ses 2 petits enfants discutent : le grand-père, plus agé que ses petits enfants leur dit :
La somme du carré de nos trois âges est égale à leur produit.
Quels sont ces âges
Ou encore trouver tous les entiers naturels a, b, c vérifiant :
a² + b² + c² = a*b*c
La somme du carré de nos trois âges est égale à leur produit.
Quels sont ces âges
Ou encore trouver tous les entiers naturels a, b, c vérifiant :
a² + b² + c² = a*b*c
Réponses
-
Supposons que $a\leq b\leq c$ alors $a^3\leq abc=a^2+b^2+c^2 \leq 3c^2$ et de même $c^3\geq abc=a^2+b^2+c^2 \geq 3a^2$.
Par conséquent, $3^5a^4= 3^3 (3a^2)^2\leq 3^3 c^6=(3c^2)^3 \leq a^9$.
Donc, soit $a=0$ et par conséquent, $b=c=0$, soit $a^5 \geq 3^5$ d'où $a\geq 3$.
(On aurait pu aussi le montrer avec l'inégalité arithmético-géométrique).
On peut remarquer ensuite que (3,3,3) est solution également (en plus de (0,0,0)).
Mais ce n'est toujours pas la solution cherchée.
A suivre -
Bonjour
On peut avoir par exemple :
3;15;39
3;15;6
39;15;582
3;6;3
15;6;87
3;3;3
39;3;102
On peut choisir 87;6;15 par exemple. -
Note :j'ai supposé que a était l'âge du grand père, j'ai essayé de résoudre l'équation a²+b²+c²-abc=0 dont l'inconnue est a ,après on essaie de voir pour quels a et b , b²(c²-4)-4c² est un carré parfait (sachant que b et c sont compris entre 2 et 20 (à l'âge de 2 ans on peut parler je crois, et puis en sous de 20 ans on est enfant non ?)
-
pour l'exo suivant:
trouver a b c
a² + b² +c² = bc
on peut utiliser
a² + b² +c² - bc = 0 ssi { + 1/2(b+c)}² + 3/4{b-c}² = 0
et donc chaque carré doit etre nul ...
voyez vous une méthode similaire pour l'autre ?? -
tu voulais pas la réponse ?
j'ai donné les âges je crois : 87 ; 15 et 6 ans
de rien -
Yalcin, toutes les solutions que tu proposes donnent 3 multiples de 3... saurais-tu le prouver ? Ca aiderait à la résolution (plutôt que de donner des réponses certainement non exhaustives sans raisonnement).
-
Deux remarques qui n'avancent pas énormément :
si $(a,b,c)$ désigne un triplet solution non nul :
(1) $a$, $b$ et $c$ sont divisibles par $3$.
(2) pour tout nombre premier $p$ congru à $3$ modulo $4$,
les nombres $a$, $b$ et $c$ ont la même valuation relative à $p$. -
voire : équations de Markov, sujet déjà vu ici il y a quelques temps.
lolo -
Si 3 ne divise ni a, ni b, ni c, alors a², b², c² sont congrus à 1 modulo 3 et leur somme à 0 modulo 3 ce qui fait une contradiction. On a donc 3|abc et donc 3|a, 3|b, 3|c avec les mêmes valuations (dixit dsp).
-
Y a pas un rapport entre l'équation et les fonctions symétriques des racines d'un certain polynome ? j'ai l'impression que oui
-
oui chris bien joué
-
et on retrouve bien l'équation de Markov :-)
-
Wahou, lolo... tu as bonne mémoire !
<BR>Effectivement, le problème a déjà été résolu (brillamment, comme souvent) par Oumpapah il y a 8 mois environ...
<BR>
<BR>Voici le post en question :
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=236296&t=235371#reply_236296"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=236296&t=235371#reply_236296</a><BR>
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres