Exo olympiades

Polux1 · July 2006

Un grand-père et ses 2 petits enfants discutent : le grand-père, plus agé que ses petits enfants leur dit :
La somme du carré de nos trois âges est égale à leur produit.
Quels sont ces âges

Ou encore trouver tous les entiers naturels a, b, c vérifiant :
a² + b² + c² = a*b*c

bisam · July 2006

Supposons que $a\leq b\leq c$ alors $a^3\leq abc=a^2+b^2+c^2 \leq 3c^2$ et de même $c^3\geq abc=a^2+b^2+c^2 \geq 3a^2$.
Par conséquent, $3^5a^4= 3^3 (3a^2)^2\leq 3^3 c^6=(3c^2)^3 \leq a^9$.
Donc, soit $a=0$ et par conséquent, $b=c=0$, soit $a^5 \geq 3^5$ d'où $a\geq 3$.

(On aurait pu aussi le montrer avec l'inégalité arithmético-géométrique).

On peut remarquer ensuite que (3,3,3) est solution également (en plus de (0,0,0)).

Mais ce n'est toujours pas la solution cherchée.

A suivre

Yalcin · July 2006

Bonjour

On peut avoir par exemple :

3;15;39
3;15;6
39;15;582
3;6;3
15;6;87
3;3;3
39;3;102

On peut choisir 87;6;15 par exemple.

Yalcin · July 2006

Note :j'ai supposé que a était l'âge du grand père, j'ai essayé de résoudre l'équation a²+b²+c²-abc=0 dont l'inconnue est a ,après on essaie de voir pour quels a et b , b²(c²-4)-4c² est un carré parfait (sachant que b et c sont compris entre 2 et 20 (à l'âge de 2 ans on peut parler je crois, et puis en sous de 20 ans on est enfant non ?)

Polux1 · July 2006

pour l'exo suivant:

trouver a b c

a² + b² +c² = bc

on peut utiliser

a² + b² +c² - bc = 0 ssi { + 1/2(b+c)}² + 3/4{b-c}² = 0

et donc chaque carré doit etre nul ...

voyez vous une méthode similaire pour l'autre ??

Yalcin · July 2006

tu voulais pas la réponse ?
j'ai donné les âges je crois : 87 ; 15 et 6 ans
de rien

bisam · July 2006

Yalcin, toutes les solutions que tu proposes donnent 3 multiples de 3... saurais-tu le prouver ? Ca aiderait à la résolution (plutôt que de donner des réponses certainement non exhaustives sans raisonnement).

dSP0 · July 2006

Deux remarques qui n'avancent pas énormément :

si $(a,b,c)$ désigne un triplet solution non nul :

(1) $a$, $b$ et $c$ sont divisibles par $3$.
(2) pour tout nombre premier $p$ congru à $3$ modulo $4$,
les nombres $a$, $b$ et $c$ ont la même valuation relative à $p$.

lolo33 · July 2006

voire : équations de Markov, sujet déjà vu ici il y a quelques temps.

lolo

chris26 · July 2006

Si 3 ne divise ni a, ni b, ni c, alors a², b², c² sont congrus à 1 modulo 3 et leur somme à 0 modulo 3 ce qui fait une contradiction. On a donc 3|abc et donc 3|a, 3|b, 3|c avec les mêmes valuations (dixit dsp).

Toto.le.zero · July 2006

Y a pas un rapport entre l'équation et les fonctions symétriques des racines d'un certain polynome ? j'ai l'impression que oui

Yalcin · July 2006

oui chris bien joué

Yalcin · July 2006

et on retrouve bien l'équation de Markov :-)

bisam · July 2006

Wahou, lolo... tu as bonne mémoire !
 Effectivement, le problème a déjà été résolu (brillamment, comme souvent) par Oumpapah il y a 8 mois environ...
 
 Voici le post en question :
 <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=236296&t=235371#reply_236296"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=236296&t=235371#reply_236296</a>

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