Petit jeu matheux

Bonjour.

Tu pourrais essayer la division euclidienne.

Bruno

Exact, j'ai lu en diagonale et ma réponse est inapropriée.

Bruno

C'est pas très difficile, mais il faut y penser :

En fait, tu dois résoudre 2x + 4y + 10 z <=24, ce qui te donnera le nombre de masses marquées de 10, 20 et 50 kg.
Pense alors au régionnement de l'espace pour répondre à la question : combien de points à coordonnées entières naturelles sont du même côté du plan d'équation 2x + 4y +10z que le point O(0;0;0) ? (En comptant les éventuels points du plan)

En dimension 4 ca risque d' être difficile d' imaginer un espace de dimension 3.

Ce fil fait naitre 2 questions en moi:
- Comment P.Fradin s' est il prit pour arriver a ce beau résultat ?
- On sait résoudre les équations diophantiennes ax+by=c dans N^2. Mais dans le cas de ax+by+cz = d dans N^3, on fait comment ? Y a-t-il une méthode ? Et dans le cas général a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn = n ?

Merci bcp :=)

Un petit mot pour expliquer d'où vient la méthode (qui n'est pas de moi), il faut connaître:

1) le développement en série de $\frac1{1-X^n}$:
$$\dfrac1{1-X^n}=\sum_{i=0}^{+\infty} X^{in}$$

2) le produit de deux séries (avec n et m fixés):

$$\left(\sum_{i\geq 0}X^{in}\right)\times\left(\sum_{j\geq 0}X^{jm}\right)=
\sum_{p\geq 0}\left(\sum_{in+jm=p}1\right)X^p$$

un <B>shaker</B>...to shake=mélanger, to check=vérifier. A moins d'un jeu de mots subtil qui m'aurait échappé à première vue. :-)

Il y a pas mal de méthodes, par exemple avec maple tu peux faire:
series (1/((1-x)*(1-x^2)*(1-x^4)*(1-x^10)),x=0,25); et tu lis le coefficient devant x^24.

Pour trouver le dévellopement en série entière à la main, tu peux faire une décomposition en élements simples, puis utiliser les dévelopements en séries entière classiques de $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{i-x}$, $\frac{1}{i+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{(1-x)^2}$ etc ...

Le plus simple, si tu ne sais pas/plus faire un développement en série entière d' une fonction est d' utiliser maple ou un autre logiciel de calcul formel.
Sinon, on peut aussi dériver 24 fois et la réponse est alors $\frac{f^{(24)} (0)}{24!}$

Bonjour Richard

Ton fichier excel, tu l'as construit à la main ou tu as utilisé une macro VBA pour faire les bouclages systématiques ?

Alain

Nicolas, tu remarqueras que j'ai résolu une INEQUATION .....<=24, il suffit ensuite de compléter avec les masses de 5 kg.

Il y a eu beaucoup de sujets, sur ce forum, mettant en jeu les dénumérants.

Rappelons que l'on nomme ainsi le nombre $\mathcal {D}_k(n)$ de solutions entières naturelles de l'équation diophantienne$a_1x_1 + ... + a_kx_k = n$, où les inconnues $(x_1,...,x_k) \in \N^k$.

Comme l'a indiqué Patrick Fradin, ce nombre a pour série génératrice la fonction $\displaystyle {F(x) = \frac {1}{P(x)}}, où $\displaystyle {P(x) = \prod_{i=1}^{k} (1-x^{a_i})}.$$

La technique usuelle est alors de décomposer en éléments simples cette fraction, puis d'en extraire le coefficient de $x^n$. En pratique, surtout lorsque $k$ est grand, cette méthode devient vite inexploitable en pratique, et on se contente d'équivalents ou de majorations.

Mais pour ceux qui aiment les formulent, voici ce que cela donne :

1. Soient $\varepsilon_i$ (pour $i=0,...,r$) les $r+1$ racines distinctes de $P(x)$, que l'on écrit sous la forme : $$P(x) = \prod_{i=0}^{r} \left ( 1 - \frac {x}{\varepsilon_i} \right )^{n_i},$$ avec $\varepsilon_0 = 1$, $\varepsilon_1 = -1$, $n_0 = k$, $n_1,...,n_r \leqslant k$ et $\sum_{i=0}^{r} n_i = \sum_{j=0}^{k} a_j$.

2. On note $c_{ij}$ les nombres complexes coefficients de la décomposition de la fraction en éléments simples, c'est-à-dire : $$c_{ij} = \frac {(-1)^{\eta(i,j)}}{(n_i-j)!} \left [ \frac {d^{n_i-j}}{dx^{n_i-j}} \left \{ \frac{(1-x/\varepsilon_i)^{n_i}}{P(x)} \right \} \right ]_{x=\varepsilon_i},$$ où $\eta(i,j) = 1$ si $i$ est pair et $n_i-j$ est impair, et 0 sinon. On peut vérifier que : $$c_{0k} = \left ( \prod_{j=1}^{k} a_j \right )^{-1}.$$ Alors on obtient : $$\mathcal {D}_k(n) = \sum_{j=1}^{k} c_{0j} \binom {j+n-1}{n} + (-1)^n \sum_{j=1}^{n_1} c_{1j} \binom {j+n-1}{n} + \sum_{i=2}^{r} \sum_{j=1}^{n_i} c_{ij} \binom {j+n-1}{n} \varepsilon_i^{-n}.$$

{\bf Exemple}. Le nombre de solutions de l'équation $2x+2y+2z = n$ vaut : $$\frac {(n+2)(n+4)}{16} \left \{1 + (-1)^n \right \}.$$

Borde.

Il y a eu beaucoup de sujets, sur ce forum, mettant en jeu les dénumérants.

Rappelons que l'on nomme ainsi le nombre $\mathcal {D}_k(n)$ de solutions entières naturelles de l'équation diophantienne $a_1 x_1 + ... + a_k x_k = n$, où les inconnues sont $(x_1,...,x_k) \in \N^k$.

Comme l'a indiqué Patrick Fradin, ce nombre a pour série génératrice la fonction $\displaystyle {F(x) = \frac {1}{P(x)}}$, où $\displaystyle {P(x) = \prod_{i=1}^{k} (1-x^{a_i})}$.

La technique usuelle est alors de décomposer en éléments simples cette fraction, puis d'en extraire le coefficient de $x^n$. Lorsque $k$ est grand, cette méthode devient vite inexploitable en pratique, et on se contente d'équivalents ou de majorations.

Mais pour ceux qui aiment les formulent, voici ce que cela donne :

1. Soient $\varepsilon_i$ (pour $i=0,...,r$) les $r+1$ racines distinctes de $P(x)$, que l'on écrit sous la forme : $$P(x) = \prod_{i=0}^{r} \left ( 1 - \frac {x}{\varepsilon_i} \right )^{n_i},$$ avec $\varepsilon_0 = 1$, $\varepsilon_1 = -1$, $n_0 = k$, $n_1,...,n_r \leqslant k$ et $\sum_{i=0}^{r} n_i = \sum_{j=0}^{k} a_j$.

2. On note $c_{ij}$ les nombres complexes coefficients de la décomposition de la fraction en éléments simples, c'est-à-dire : $$c_{ij} = \frac {(-1)^{\eta(i,j)}}{(n_i-j)!} \left [ \frac {d^{n_i-j}}{dx^{n_i-j}} \left \{ \frac{(1-x/\varepsilon_i)^{n_i}}{P(x)} \right \} \right ]_{x=\varepsilon_i},$$ où $\eta(i,j) = 1$ si $i$ est pair et $n_i-j$ est impair, et 0 sinon. On peut vérifier que : $$c_{0k} = \left ( \prod_{j=1}^{k} a_j \right )^{-1}.$$ Alors on obtient : $$\mathcal {D}_k(n) = \sum_{j=1}^{k} c_{0j} \binom {j+n-1}{n} + (-1)^n \sum_{j=1}^{n_1} c_{1j} \binom {j+n-1}{n} + \sum_{i=2}^{r} \sum_{j=1}^{n_i} c_{ij} \binom {j+n-1}{n} \varepsilon_i^{-n}.$$

{\bf Exemple}. Le nombre de solutions de l'équation $2x+2y+2z = n$ vaut : $$\frac {(n+2)(n+4)}{16} \left \{1 + (-1)^n \right \}.$$

Borde.

Merci, Alain, toujours fidèle au poste. :-)

Borde.

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