proportion d'entiers commençant par...
dans Arithmétique
Bonsoir...
Peut être que le sujet a déjà été traîté ici, mais quelqu'un aurait il une référence ou une explication ou autre sur le problème suivant :
pour $k$ entier entre 1 et 9, quelle est la proportion d'entiers dont le premier chiffre est $k$ ?
merci d'avance
Peut être que le sujet a déjà été traîté ici, mais quelqu'un aurait il une référence ou une explication ou autre sur le problème suivant :
pour $k$ entier entre 1 et 9, quelle est la proportion d'entiers dont le premier chiffre est $k$ ?
merci d'avance
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Par ailleurs $\N^* = \cup_{n \geq 0} D_n$.
La proportion recherchée est donc $\frac{1}{9}$.
il y a plus de 1 que de 2, plus de 2 que de 3, ...
j'ai souvenir d'avoir lu ça un jour
La proportion est par rapport à quoi ?
Si c'est la proportion d'entiers inférieurs à n et commençant par le chiffre k, alors par exemple :
pour n=20 il y a 11/20 commençant par 1 et 2/20 par 2, 1/20 par 3, ..., 9
Alain
Gaston, j'imagine que tu penses aux vieilles tables de logarithmes, dont les pages concernant les nombres commençant par 1 étaient plus usées que les autres. Mais le fait qu'on rencontre plus souvent des nombres commençant par 1 ne signifie aucunement qu'il y a plus de nombres commençant par 1 que de nombres commençant par k (k différent de 1).
Spontanément j'ai répondu 1/9, mais la personne m'a dit "non non... tu t'es fait piéger..."
me souvenant d'avoir entendu vaguement parlé de ça un jour, mais étant incapable de trouver de justification, j'ai demandé ici. (ce que je commence à regretter car je subis les sarcasmes même d'un modo)
Il s'agirait donc d'une sorte de mythe empirique? Qu'entends-tu exactement par "d'apparaître dans la vie"?
[Gaston, les modos pourraient se vexer à juste titre : "[i]je subis les sarcasmes même d'un modo[/i]" ! D'autant plus que je ne vois aucun sarcasme dans les intervention d'aviva ou d'Alain. Bruno]
Cependant les chiffres qui interviennent dans la vie de tous les jours comme : les prix d'un supermarché ( que cela soit en euros où en francs ), la longueur de cours d' eau... commencent à plus de $30 %$ par un $1$.
Cela n' a rien de mystérieux, on peut en faire la démonstration et ce fait est connu sous le nom de loi de Benford.
Une petite recherche sur google ou Wikipédia t' en apprendra plus.
Si on note $p_k(n)=#\{p \leq n, \ \ tel \ que \ p \ commence \ par \ un \ k \}$ ( ceci pour $k=0..9$ ).
Alors il serait légitime de définir la probabilité qu'un entier commence par un $k$ par $lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{p_k(n)}{n}$.
Cependant il se trouve que cette limite n'existe pas ! Guimauve prenait la limite d' une suite extraite très particulière ( celle des $10^n$).
Donc il est difficile de parler de cette probabilité, en toute généralité.
Cependant je pense que Gaston faisait bien allusion à la loi de Benford que j' ai mentionnée au dessus.
( merci Bruno pour le $\%$ j'y penserai dorénavant)
Je vais pouvoir expliquer à la personne le pourquoi du comment
$$p_1(n)\geq p_2(n)\geq \cdots\geq p_9(n)$$
Pour $p_9$, $1/9$ est la limsup, alors que c'est la liminf pour $p_1$ (et les limsup et liminf des $p_k$ sont faciles à calculer, et décroissent avec $k$). Donc on est bien amené à se dire qu'il y a, en un certain sens, davantage d'entiers commençant par un 1 que par un 9.
Pour donner un sens précis à cette affirmation, il est vrai qu'on ne peut pas calculer la densité naturelle des entiers commençant par k puisqu'elle n'existe pas. En revanche, on peut essayer de calculer d'autres types de densités définies pour des familles d'entiers plus générales. Par exemple, si l'on définit la densité analytique $d_{\rm an}(A)$ d'un ensemble $A\subset \N^*$ comme la limite en 1, si elle existe, de la fonction $(s-1)\zeta_A(s) = (s-1)\sum_{n\in A} n^{-s}$, il me semble que ça coïncide avec la densité naturelle quand elle existe, que c'est compris entre la liminf et la limsup évoquées plus haut, et que pour les ensembles considérés ici, on obtient bien les valeurs attendues, à savoir :
$$d_{\rm an}(A_k) = \log_10(1+1/k)$$
où $A_k$ est l'ensemble des entiers commençant par $k$.
En revanche, l'existence d'une densité logarithmique (ou analytique) n'implique pas celle d'une densité naturelle.
Borde.
pff
[Veux-tu que je le remette en M2/++ ? AD]
je crois que Ted Hill a proposé une démonstration mais j'ignore si elle est reconnue et si d'autres en ont proposé ( par contre, beaucoup se sont cassés les dents dessus donc bon, ce n'est pas si simple et anodin )
Pilz, tu as tout à fait raison, pour ma défense je vais invoquer l'heure tardive et la canicule.
Sinon c'est vrai que comme toi j' ai trouvé cela très surprenant au début et je croyais aussi que c'était un truc empirique.
<BR> <a href = "http://www.sciences.ch/htmlfr/arithmetique/arithmetiquestatistiques01.php#fonctbenford"> http://www.sciences.ch/htmlfr/arithmetique/arithmetiquestatistiques01.php#fonctbenford </a>
<BR>C'est tout à la fin.
"La loi de Benford est utilisée aux États-Unis, ainsi que dans d'autres pays, dont la France, pour détecter des fraudes fiscales, suite aux idées exposées en 1972 par Hal Varian."
maintenant, pour frauder, il faudra donner des listings de chiffres "à peu près cohérents" avec la loi de benford.
( on voit bien le genre du type qui, face à son pavé numérique, commence chacune des valeurs qu'il invente par un chiffre distinct ).
quelqu'un en sait plus à ce sujet ? ça me plait énormément.
<http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0408/0408057.pdf>
mais ça, c'est de la psychologie ....
$$d_{\rm log}(A_k) = \lim_{N\to\infty} \frac{\sum_{n\in A_k \cap \{1,\dots,N\}} 1/n}{\sum_{n\leq N} 1/n}$$
qui en l'occurrence se calcule facilement. Il suffit essentiellement de découper la somme au numérateur en tranches entre $10^j$ et $10^{j+1}-1$, de voir qu'elle s'écrit comme différence de deux termes de la série harmonique, et d'utiliser le développement asymptotique de cette dernière. Contrairement à ce qui se passe pour la densité naturelle, cette fois-ci, la limsup et la liminf coïncident bien, et donc la densité logarithmique ainsi que la densité analytique existent bien.