proportion d'entiers commençant par...

Pour $n \geq 0$, il y a $10^n$ entiers commençant par k dans $D_n = \{ 10^n, 10^n + 1, ..., 10^{n+1}-1 \}$ ($k=1...9$).
Par ailleurs $\N^* = \cup_{n \geq 0} D_n$.

La proportion recherchée est donc $\frac{1}{9}$.

Bonsoir

La proportion est par rapport à quoi ?
Si c'est la proportion d'entiers inférieurs à n et commençant par le chiffre k, alors par exemple :
pour n=20 il y a 11/20 commençant par 1 et 2/20 par 2, 1/20 par 3, ..., 9

Alain

Je crois que Gaston veut parler de résultats bizarre avec des log qui disent que les premiers chiffres d'un nombre ont des probas décroissante d'apparaître dans la vie... Non?

Il y a deux choses distintes : comme l' a dit Guimauve si tu prend entier au hasard alors la proba recherchée est bien sûr $\frac{1}{9}$.

Cependant les chiffres qui interviennent dans la vie de tous les jours comme : les prix d'un supermarché ( que cela soit en euros où en francs ), la longueur de cours d' eau... commencent à plus de $30 %$ par un $1$.
Cela n' a rien de mystérieux, on peut en faire la démonstration et ce fait est connu sous le nom de loi de Benford.
Une petite recherche sur google ou Wikipédia t' en apprendra plus.

Notons que la loi de Benford n'est pas complètement sortie du chapeau. En reprenant les notations de Pilz, la suite $(p_k(n)/n)$ n'a effectivement pas de limite, mais l'on a cependant, pour tout $n$ :
$$p_1(n)\geq p_2(n)\geq \cdots\geq p_9(n)$$
Pour $p_9$, $1/9$ est la limsup, alors que c'est la liminf pour $p_1$ (et les limsup et liminf des $p_k$ sont faciles à calculer, et décroissent avec $k$). Donc on est bien amené à se dire qu'il y a, en un certain sens, davantage d'entiers commençant par un 1 que par un 9.

Pour donner un sens précis à cette affirmation, il est vrai qu'on ne peut pas calculer la densité naturelle des entiers commençant par k puisqu'elle n'existe pas. En revanche, on peut essayer de calculer d'autres types de densités définies pour des familles d'entiers plus générales. Par exemple, si l'on définit la densité analytique $d_{\rm an}(A)$ d'un ensemble $A\subset \N^*$ comme la limite en 1, si elle existe, de la fonction $(s-1)\zeta_A(s) = (s-1)\sum_{n\in A} n^{-s}$, il me semble que ça coïncide avec la densité naturelle quand elle existe, que c'est compris entre la liminf et la limsup évoquées plus haut, et que pour les ensembles considérés ici, on obtient bien les valeurs attendues, à savoir :
$$d_{\rm an}(A_k) = \log_10(1+1/k)$$
où $A_k$ est l'ensemble des entiers commençant par $k$.

Il y a équivalence entre l'existence d'une densité analytique et celle d'une densité {\it logarithmique} d'une suite $\mathcal {A}$ d'entiers, et, dans ce cas, les deux densités sont égales.

En revanche, l'existence d'une densité logarithmique (ou analytique) n'implique pas celle d'une densité naturelle.

Borde.

S'il existe vraiment une démonstration satisfaisante de la loi de Benford, ça doit être récent

je crois que Ted Hill a proposé une démonstration mais j'ignore si elle est reconnue et si d'autres en ont proposé ( par contre, beaucoup se sont cassés les dents dessus donc bon, ce n'est pas si simple et anodin )

En fait Guimauve, pour avoir lu vite fait l' article de Wikipédia tout cela semble avoir un réel fondement mathématiques, mais comme tu t' en doutes il faut quand même une hypothèse sur les nombres que l' on regarde : la plage de nombres doit être assez vaste ( si l' on regarde les poids dans une population en kg le chiffres de tête le plus fréquent ne sera bien sûr pas le $1$.) et il doit y avoir une sorte d' hypothèse d' équirépartition logarithmique ( tout cela est très bien expliquer dans Wiki ).

Sinon c'est vrai que comme toi j' ai trouvé cela très surprenant au début et je croyais aussi que c'était un truc empirique.

moi ce qui me fascine c'est la remarque de wikipédia :

"La loi de Benford est utilisée aux États-Unis, ainsi que dans d'autres pays, dont la France, pour détecter des fraudes fiscales, suite aux idées exposées en 1972 par Hal Varian."

maintenant, pour frauder, il faudra donner des listings de chiffres "à peu près cohérents" avec la loi de benford.

( on voit bien le genre du type qui, face à son pavé numérique, commence chacune des valeurs qu'il invente par un chiffre distinct ).

quelqu'un en sait plus à ce sujet ? ça me plait énormément.

par rapport aux fraudes, il y a trop de 6 et plus assez de 1

mais ça, c'est de la psychologie ....