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4900 = nombre carré et pyramidal carré

Envoyé par bs 
bs
4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
<latex> bonjour
suis pas vraiment certain du niveau, peut-être plus élevé

Rappels:
1) le n_ième nombre carré est défini par $C_n=n^2$
2)pour les nombres pyramidaux carrés , on a:
$P_n=1^2+2^2+....+n^2$;
par exemple, pour $P_4$, on place 16 melons dans un carré de 4x4;puis dans les 9 trous, on place 3x3 melons; puis 2x2, et enfin 1 melon, et on obtient une pyramide à base carrée de melons, dont le côté de la base est égal à 4.
Est-il nécessaire de rappeler que $P_n$ =n(n+1)(n+2)/6
3)il existe auusi la notion de nombre pyamidal triangulaire.

Je traduis du &quotNew Mathematical Diversions from Scientific American &quotde M.Gardner :le mathématicien français Edouard Lucas avait conjecturé que 4900 était le seul nombre à la fois carré et pyramidal carré.G.N.Watson démontra cette assertion en 1918.

Evidemment, aucune preuve dans le livre; peut-être vous, heureux vacanciers pour un début de démonstration?
Dans &quotLes nombres remarquables" de Le Lionnais, 4900 n'y figure pas.

merci
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
<latex> J' ai lu récemment une démo de ce fait utilisant la théorie des courbes elliptiques.\\
\\
En fait tu veux résoudre en entier naturels $y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$ (je pense que tu t'es trompé dans ton expression de $P_n$ )\\
\\
Ceci étant de la forme $y^2=Ax^3+Bx^2+Cx+D$ c'est bien l' équation d' une courbe elliptique ( c'est comme cela qu'on appelle ce genre de courbes ) et tu recherches les points entiers sur cette courbe.\\
Les points $(1,1)$ et $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ apartiennent à la courbe.\\
Or si tu traces la droite passant par ces deux points elle coupe la courbe en un troisième point ( ce qui connaissent un peu les courbes elliptiques ne seront pas surpris cette opération correspond à $-(1,1) -(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.)\\
Ce troisième point a pour coordonnées $(24,70)$ ( c'est un simple calcul ) et tu l' auras deviné on a bien $1^2+2^2+...+24^2=70^2=4900$.\\
Voilà pour l' existence qui peut donc être montrée sans calcul lourd.\\
\\
Bien évidemment l' unicité se montre aussi à l' aide de cette belle théorie, cependant les techniques mises en jeu sont plus lourdes et nécessite une connaissance préalable des courbes elliptiques. Si tu es intéressé tu peux aller jeter un coup d'oeil dans le bouquin de Lauwrence Washington :Elliptic Curves.\\
\\
C'est une approche que connais mais après il y en a surement des plus simples, j' imagines...
<latex> bonjour
oui Pilz, c'est effectivement (2n+1) et non (n+2) qui intervient dans le calcul de $P_n$ ; ce doit être la chaleur !,désolé.

merci pour tous tes éclaircissements ; je me souviens qu'il y a quelque temps , tu ( je pense que c'était toi) avais posé une question sur les courbes elliptiques, pour résoudre ce type de questions.
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
Oui c'est vrai j' avais posé une question sur les courbes elliptiques car je découvre tout juste le domaine et c'est passionnant . Le premier exemple du livre que je lis en ce moment est celui dont tu as parlé , c'est pour cela que cela m 'est venu à l' esprit.
Mais je ne prétends pas que cette approche soit la plus simple.

J' espére que tu auras d' autre réponse à ta question très intéressante
Oumpapah
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
Pour Pilz

autre référence : ( sa lecture est un bonheur.., contient de nombreux exercices)

Rational points on elliptics curves

de : Joseph H. Silverman & John Tate

chez springer (second edition june 13, 1994 )
( dans la collection: Undergraduate Texts in Mathematics)

Oump.

Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
merci beaucoup pour cette nouvelle référence!
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
<latex> Bonsoir,

Je ne sais pas si cela entre dans ce sujet, ni si cela peu intéresser, mais, pour un DM de Terminale S spécialité, j'ai récemment réussi à montrer que les seules solutions entières de l'équation diophantienne $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = m^2$$ {\bf avec} $n \not \equiv 1 \pmod 6$ sont les couples $(1,1)$ et $(24,70)$ et ce, avec des moyens "élémentaires", accessibles aux élèves de cette classe.

En revanche, je n'ai pas réussi à aboutir lorsque $n \equiv 1 \pmod 6$.

Borde.
bonjour

borde: comme tu l'as remarqué ,il me semble que ça rentre en plein dans le sujet; en dehors du couple trivial (1,1), la seule solution de l'équation diophantienne proposée est (24,70).

il faut donc travailler modulo 6 et examiner les deux cas; maintenant, si tu n'es pas parvenu à aboutir dans le second cas...

grand merci pour cette piste
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
...Cela ne signifie pas que c'est inaccessible, je n'ai pas vraiment insisté, sentant que l'on risquerait de sortir du programme (et encore, ça reste à prouver...). Mais on peut couvrir les autres cas en n'utilisant que des outils connus.

La question avait déjà été posée ici il y a quelques temps.

Borde.
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
Bonsoir Borde et bonsoir à tous.
J'ai essayé d'avancer un peu (sans arriver au bout) dans le cas N=1 (mod 6).

Supposons que : N*(N+1)*(2N+1)=6*x², avec N=6m+1. La relation précédente s’écrit :
(6m+1)*(3m+1)*(4m+1)=x². Il est clair que les trois nombres du membre de gauche sont premiers entre eux deux à deux. Il existe donc trois entiers p, q et r tels que :
6m+1=q² ; 3m+1=p² et 4m+1=r². Des deux premières relations, on déduit l’équation de Pell :
q²-2p²= -1

Si un couple (p,q) satisfait cette équation, on voit que p impair (sinon q²= -1 mod(4)) et que p n’est pas divisible par 3 (sinon q²=-1 (mod 3)). En résumé, p=+-1 (mod 6).

La relation 3m+1=p² montre que m=(p²-1)/3 (qui est bien un nombre entier) et on peut écrire :
r²=4m+1=(4p²-1)/3=(2p-1)(2p+1)/3.

Si p= -1 (mod 6), on a (2p-1)/3= -1 (mod 4) , 2p+1= -1 (mod 4) et
r²=[(2p-1)/3]*(2p+1) Les nombres (2p-1)/3 et 2p+1 sont premiers entre eux, donc chacun des deux devrait être un carré, ce qui est impossible (car ils sont congrus à –1 mod 4).

Si p=1 (mod 6), on 2p-1= 1 (mod 4), (2p+1)/3=1 (mod 4) et :
r²=.(2p-1)*[ (2p+1)/3]. Dans ce cas la situation se complique.

Venons en aux solutions de l’équation de Pell : q²-2p²= -1. Elles sont données par les suites p(n) et q(n) qui satisfont les relations de récurrence :
p(n)=6*p(n-1)-p(n-2), avec p(0)=1 et p(1)=5;
q(n)=6*q(n-1)-q(n-2), avec q(0)=1 et q(1)=7.
Les relations précédentes montrent que le cas en suspens p(n)=1 (mod 6) se produit si et seulement si n=4k ou n=4k+3.

On peut encore éliminer certaines valeurs. La période de p(n) (mod 15) est égale à 12. On vérifie que p(n)= 4 (mod 15) pour n=12k+3 et n= 12k+8. Dans ce cas, on a (en posant p=p(n)) : (2p+1)/3=3 (mod 5). Le nombre (2p+1)/3 et par suite le produit (2p-1)*[ (2p+1)/3]. ne sont donc pas des carrés (comme plus haut, chaque terme devrait être un carré).

En remarquant de même que p(n)=10 (mod 15), pour n=12k+4 et n=12k+7, on montre que (2p+1)/3 =2 (mod 5).

En définitive, parmi les n=4k et n=4k+3, il reste à étudier les cas n=12k et n=12k+11.
juste pour dire que la suite de ce sujet s'est prolongée sur le fil:
Quelle bibliothèque idéale ?
(ce afin de ne pas perdre d'informations)
[www.les-mathematiques.net]
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
Il n'y a pas eu beaucoup de progrès.
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
bs, je crois que ton lien ne renvoie pas au fil que tu voulais...


[Pardon, je m'étais trompé, le lien est corrigé maintenant. AD]
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
Salut RAJ,

Si je me souviens bien, j'avais démarré ma recherche d'une façon similaire à ce que tu as fait ci-dessus, mais, comme toi, il me restait toujours des cas particuliers où l'on ne peut aboutir.

Comme j'ai jeté tous mes brouillons de l'époque, il faudrait que je reparte du début...mais comme actuellement je suis sur un problème de théorie analytique des nombres ardu, j'ai laissé (provisoirement ?) tombé celui-ci !

A +

Borde.
gilbert.L
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
il y a peut être cette idée à développer
le seul double d'un carré augmenter de 1 qui redonne un autre carré est 4!

donc si N est un carré pair par obligation ; 2n +1 doit aussi être un carré de sorte, comme le fait remarquer RAJ;
le produit de trois entier premiers entre-eux étant carré ces nombres sont eux même des carrés
or si seul est seulement ( 2*4 ) +1 = 3² il ne peut plus y avoir de solution tel que ce nombre Pyr soit un carré parfait = 4*25*49 =
[n (n+1) (2n + 1)]/6

4*6=24 et 24+1 =5² soit au départ (4+1)² et surtout (2*4) + 1 = 9 =3²
(24*2) +1 = 7² soit 2n +1 = 7²

puisque quelque soit le carré N² que multiplie 6 il faut que le double de ce produit plus 1 soit un carré impair c'est a dire
2N² +1 doit aussi être un carré....
Re: 4900 = nombre carré et pyramidal carré
il y a treize années
Je ne comprends pas l'argument de gibert L lorsqu'il dit: "le seul double d'un carré augmenté de 1 qui redonne un autre carré est 4".
L'équation x²=2*y²+1 admet une infinité de solutions:
17²=2*12²+1; 99²=2*70²+1, etc.
bonjours Raj

c'est exact,
ce que j'ai du mal à expliquer , c'est qu' en regardant les valeurs pris en compte pour cette solution on a les trois valeurs du triplet pytagoricien 3, 4 et 5 ce sont les trois seul entiers avec 1 de différence qui donne la solution de l'équation de Fermat 3² + 4² =5² et curieusement
on retrouve dans ce nombre pyramidale 5², 4² et (4+3)² donc je suppose que la raison qui fait , qu'il n'y ait pas d'autre solution qu'un nombre pyramidale soit un carré parfait serait cette différence de 1 entre les trois entiers ....

de plus la différence d entre deux nombres Pyr consécutif est un carré parfait N² dans ce cas précis de 4900 soit le 24ème nombre Pyr , on aurait pu avoir p²+ q²= 4900 ,(p - q)² = 24² = d, est le 23ème nombre Pyr égale à 2pq; ce qui ne semble jamais être le cas

en définitive on fait la somme de nombres triangulaires, qui forme des nombres tetraédriques et dont la somme forme un nombre Pyramidale
<latex> bonjour

1)l.g, tu as essayé mais malheureusement sans avoir pu faire avancer l'étude entreprise par RAJ.

1)les nombres tétrahédriques que tu cites sont sont les nombres pyramidaux dont la base est constituée d' un triangle équilatéral de côté comportant par exemple n melons.
La base comporte donc:
$t_n=n(n+1)/2$ (melons) qui est le n_ième nombre triangulaire.
Puis en empilant dans les trous,on obtient une pyramide en forme de tétrahèdre comportant $T_n$ melons avec $T_n$= n_ième nombre tétrahédrique.
$T_n=t_1+t_2+...+t_n=n(n+1)(n+2)/6$

2)toujours dans le même article cité au-début de ce fil, une question est posée.Quand la somme de deux nombres tétrahédriques redonne -t-elle un nombre tétrahédrique?
Si les deux nombres sont égaux:la réponse est unique;(réponse demain matin, sans preuve)
sinon:le plus petit triplé est :$T_8+T_{14}=T_{15}$;(120+560=680);il n'y a aucune preuve.

3)la question existe-t'il des nombres à la fois triangulaire et tétrahédrique n'est pas posée ici (cf:1 et 4900); il y a déjà 1 et 10, donc certainement peu intéressante.
<latex> $2T_n=T_m$ ===>$n=3,m=4$
<latex> bonjour bs
je pensais qu'on chercher à demontrer l'absence de nombre Pyr carré autre que 4900

ce qui me fait regarder les valeurs qui sont prisent par ce nombre Pyr, si c'est le seul, il y a donc une condition particulière, tout comme à priori ce serait le même cas pour les nombres tétrahédriques $T_1=4$ soit $t_1+t_2$

(2*3*4)/6 = 4 =1*4 deux carrés parfait premiers entre-eux avec une différence d =3 ce qui serait une condition assez particulière pour que cela soit l'unique nombre Tétrahédrique dont la valeur est un carré parfait puisque cette condition avec 1 ne peut se retrouver, existerait-il d'autre carrés parfaits avec 3 de différence...?
<latex> bonjour
les nombres Pyr sont la somme de 2 nombres Tétrahédriques consécutifs
$PYRn=Tn+Tn-1$
cequi donne
pour les premiers $PYR$
((1+4)(2*3))/6 = 5; soit ((1*2*3)/6)+((2*3*4)/6)=5

$(n+(n+3))((n+1)(n+2))$ que divise 6

alors lorsque l'on regarde $PYR3$
((3+6)(4*5))/6, aussi bien 20 que 9 ne sont divisible par 6 c'est uniquement le produit, et nous avons deux carrés 4 et 9 il manque le troisième
en prenant cette série que l'on fait progresser de 10 qui donne 13 +16 et 14*15
puis ((23 +26)(24*25))c'est a nouveau le produit qui n'est que divisible par 6 pour donner un nombre $PYR$ carré et aussi 24 ce qui donne effectivement 3 carrés parfaits, mais les deux nombres (23+26) et (24*25) seul (23+26) est un carrés

or puisque celà à été démontré, cette suite ne donnerait plus 3 carrés comme ceci vient d'être réalisé avec $PYR3$ et $PYR24$ .

alors est ce que la tentative commencée par borde puis par RAJ en utilisant le modulo 6, qui n'aboutit pas pour 1(6) viendrait du fait qu'il y est cette contradiction ((23 +26)(24*25))/6 = C²,
il existe bien une possibilite d'obtenir un carré sans que les deux nombres premiers entre-eux, soit deux carrés il suffit ensuite de diviser par 6 et à la condition que n+1 /6 donne un carré ce qui en donne 3

peut être, qu'il faudrait donc en plus, rajouter une autre propriété indiquant que la suite en progression +10, ne peut redonner deux carrés impairs, plus un troisième (n+1)/6 .....?
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