question simple sur la partie entière
dans Arithmétique
Soit k(n)=E(t*2^n), où E représente la partie entière.
A votre avis, a-t-on :
2*k(n)<k(n+1)
A votre avis, a-t-on :
2*k(n)<k(n+1)
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Réponses
que représente t ?
Merci
Domi
Soit $x$ un réel, $E(x)$ désigne le plus grand entier inférieur à $x$.
En particulier, $E(x) \leq x$ et donc pour tout entier m, $mE(x) \leq mx$.
Comme $mE(x)$ est entier inférieur à $mx$ il est plus petit que le grand entier inférieur à $mx$. On dispose donc pour tout entier n, $mE(x) \leq E(mx)$.
En particulier, on conclut pour x = t2^n et m=2.
J'ai un mauvais présentiment...
Domi
on a $k_n\leq 2^nt$ donc $\frac{2k_n}{2^{n+1}}=\frac{k_n}{2^n}\leq t$.
D'où $2k_n\leq 2^{n+1}t$.
Comme $k_{n+1}$ est le plus grand entier $\leq $ à $2^{n+1}t$ et que $2k_n$ est un entier, on a nécessairement $2k_n\leq k_{n+1}$.
(c'est d'ailleurs vrai pour tout $t>0$).
Soit $x$ un réel, $E(x)$ désigne le plus grand entier inférieur à $x$.
En particulier, $E(x) \leq x$ et donc pour tout entier positif m, $mE(x) \leq mx$.
Comme $mE(x)$ est entier inférieur à $mx$ il est plus petit que le grand entier inférieur à $mx$. On dispose donc pour tout entier n, $mE(x) \leq E(mx)$.
En particulier, on conclut pour $x = t2^n$ et $m=2$.
J'ai un mauvais présentiment...
Domi