du côté de chez Diophante (N1)
dans Arithmétique
bonjour
<BR>Ref: finale 1962,3ième question
<BR>
<BR>Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers satisfaisant à l'équation:
<BR>y^2 - 3xy + x - y = 0.
<BR>
<BR>J'ai essayé: (x-y)^2 + (x-y) - x(x+y) = 0 ,puis dire que le discriminant de z^2 + z -x(x+y) =0 doit être carré parfait,
<BR>
<BR>puis sous la forme : x = y(1 - y)/(1-3y)
<BR>
<BR>bien sûr, il y a (0,0), mais en panne d'inspiration ...pourtant ,rien à voir avec les triangles équilatéraux; J'ai longtemps hésité à poster cet exercice, car il paraît trop simple.
<BR>
<BR>merci<BR>
<BR>Ref: finale 1962,3ième question
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<BR>Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers satisfaisant à l'équation:
<BR>y^2 - 3xy + x - y = 0.
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<BR>J'ai essayé: (x-y)^2 + (x-y) - x(x+y) = 0 ,puis dire que le discriminant de z^2 + z -x(x+y) =0 doit être carré parfait,
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<BR>puis sous la forme : x = y(1 - y)/(1-3y)
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<BR>bien sûr, il y a (0,0), mais en panne d'inspiration ...pourtant ,rien à voir avec les triangles équilatéraux; J'ai longtemps hésité à poster cet exercice, car il paraît trop simple.
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<BR>merci<BR>
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Réponses
On a alors $(-3k+1)y^2+(k-1)y=0$.
Soit $y=0$ ou $y=\frac{1-3k}{k-1}$. Il faut donc discuter sur $k-1|1-3k$.
Or $1-3k\equiv -2\ mod(k-1)$. Il faut donc $-2\equv 0 mod(k-1)$. Et des $k$ comme ca, y'en a pas des masses.
Cela étant; ma soluce me semble trop simple. J'ai sans doute un erreur.
Max
On a alors $(-3k+1)y^2+(k-1)y=0$.
Soit $y=0$ ou $y=\frac{1-3k}{k-1}$. Il faut donc discuter sur $k-1|1-3k$.
Or $1-3k\equiv -2\ mod(k-1)$. Il faut donc $-2\equiv 0 mod(k-1)$. Et des $k$ comme ca, y'en a pas des masses.
Cela étant; ma soluce me semble trop simple. J'ai sans doute un erreur.
Max
Désolé erreur de frappe.
c'est plutôt:x = ky
merci
$$x=\frac{t-1}{t(t-3)}\text{ et } y=\frac{t-1}{t-3}$$
(t ne peut pas prendre les valeurs 0 ou 3). On voit alors que x et y sont rationnels si et seulement si t est lui-même rationnel, on pose donc $t=\frac{p}{q}$ avec p et q premiers entre eux, ce qui donne:
$$x=\frac{p-q}{p-3q}\text{ et } y=\frac{q(p-q)}{p(p-3q)}$$
on voit maintenant que x et y sont entiers ssi $p-3q\mid p-q$ et $p(p-3q)\mid q(p-q)$, mais comme p et q sont premiers entre eux on a $p\mid p-q$ par conséquent $p=q=1$ d'où $\boxed{x=y=0}$.
Sauf erreur de calcul...
d'abord $y=0$ entraîne $x=0$ d'où la solution$(0;0)$.
Pour $y\neq 0$, $x=ky$ donne, en reportant dans l'équation et en simplifiant par $y$,
$$-y+3ky+1=k$$
c'est-à-dire
$$k-1=\ell y$$
avec $\ell $ entier $\geq -1$. Ce qui, sauf erreur, devrait nous conduire à $$\ell (1-3y)=2$$
il ne reste plus qu'à discuter suivant $\ell $ et ça doit marcher : on devrait retrouver les solutions $(0;0)$ et $(0;1)$.
à vérifier...
doublement merci Patrick :page forum + cette équation.
Aleg: dans ton raisonnement, l=3k-1 et tu écris avec l entier (d'accord) avec l$\geq-1$, c'est à dire que tu prends k$\geq0$, merci de me rappeler pourquoi?
bien vu pour : k = (3k-1)(1-y)=ly et la chute de l'exercice.
merci