Diviseurs et DFP

Bonjour à tous,

Soit n $\in\N^{*}$ et ses diviseurs $d_1 \leq d_2 \leq ... \leq d_k$ (distincts, comment fait-on une inégalité stricte en LaTeX?). On a (en regroupant les diviseurs deux par deux), sauf erreur de ma part, la formule suivante:\[\left(\prod_{i=1}^{k} d_i\right)^2 = n^k\]
Considérons la DFP de n:\[ n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{w(i)} \]
Pour moi, les diviseurs de n vont être toutes les combinaisons des $p_i$ possibles avec des puissances respectivement inférieures aux $w(i)$. Ainsi:\[\prod_{i=1}^{k} d_i = {\prod_{1 \leq a_1 \leq w(1)} {p_1^{a_1} \prod_{1 \leq a_2 \leq w(2)} p_2^{a_2}}}\,...\, \prod_{1 \leq a_r \leq w(r)} p_r^{a_r} = \prod_{i=1}^r p_i^{\sum_{j=1}^{w(i)} j} \]
D'où avec la formule usuelle de la somme des entiers de 1 à w(i):\[\left(\prod_{i=1}^{k} d_i\right)^2 = \prod_{i=1}^r p_i^{w(i)(w(i) + 1)} \]
Avec la formule citée au debut et en élevant la DFP à la puissance k:\[\prod_{i=1}^r p_i^{w(i)(w(i) + 1)} = \prod_{i=1}^{r} p_i^{k.w(i)} \]
D'où par unicité de la DFP on déduit pour tout i inférieur ou égal à r et en supposant tous les w(i) non nuls:
\[w(i) + 1 = k = \prod_{j=1}^{r} w(j)\]
En effet, le nombre k de diviseurs me semble correspondre au nombre de combinaisons qu'on à inclus dans le produit précédament, d'où finalement $(w(i))^{-1} = \prod_{j \neq i}^{r} w(j) - 1$ c'est à dire une relation entre les exposants de la DFP de tout entier ce qui me semble assez contradictoire, mais je n'arrive pas à voir où est mon erreur.

Merci d'avance!