sommes de carrés, cubes...
dans Arithmétique
Bonjour,
Gauss fût le premier à caractériser les entiers naturels pouvant s'écrire comme la somme de deux carrés. Il le fît en introduisant l'anneau $\Z$.
Une fois ce problème posé, on pense évidemment à la somme de trois carrés, deux cubes,... n puissances p. Sur internet, on trouve des techniques de résolutions. Oui, mais je n'en trouve aucune qui soit algébrique, au sens où l'on raménerait l'étude à un quelconque anneau $\Z[ \xi ]$.
Savez vous si les versions généralisées se résolvent à l'aide de structures algèbriques ou bien si on est obligé de faire autrement ?
Merci
Cordialement
Gauss fût le premier à caractériser les entiers naturels pouvant s'écrire comme la somme de deux carrés. Il le fît en introduisant l'anneau $\Z$.
Une fois ce problème posé, on pense évidemment à la somme de trois carrés, deux cubes,... n puissances p. Sur internet, on trouve des techniques de résolutions. Oui, mais je n'en trouve aucune qui soit algébrique, au sens où l'on raménerait l'étude à un quelconque anneau $\Z[ \xi ]$.
Savez vous si les versions généralisées se résolvent à l'aide de structures algèbriques ou bien si on est obligé de faire autrement ?
Merci
Cordialement
Réponses
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Si c'est possible, ça ne doit pas être évident du tout...surtout pour un physicien comme moi ! :-)
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Pour le cas des sommes de carrés, je peux te dire qu'il existe un critère simple concernant la somme de 3 carrés, et tout aussi simple pour la somme de 4 carrés, puisque tout entier naturel est somme de 4 carrés.
Pour qu'un entier soit somme de 3 carrés, il faut et il suffit qu'il ne soit pas de la forme $4^h (8k+7)$. Le sens est => est élémentaire, la réciproque est ardue, voir le cours d'arithmétique de Serre.
Si RAJ passe par là, il se souviendra peut-être de la discussion que nous avions eu à ce sujet sur le forum, il y a déjà... 3 ans !
Pour les ordres supérieurs, il y a quelques résultats, des spécialistes nous diront ça ! -
Vous avez bonne mémoire, Gilles, j'avoue avoir oublié cette discussion.
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Eh, oui! vers le 15 aout 2003, on sortait de la canicule, un peu comme aujourd'hui (et Zantac s'appelait encore Denis).
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Et le Latex était déjà implanté sur le forum !
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Je vais lire avec attention cette discussion.
Merci à vous
Cordialement
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Bonjour!
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